Дифференциальные уравнения прямолинейного движения материальной точки. Дифференциальные уравнения движения материальной точки

С помощью дифференциальных уравнений движения решается вторая задача динамики. Правила составления таких уравнений зависят от того, каким способом хотим определить движение точки.

1) Определение движения точки координатным способом.

Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся под действием сил , ,.., . Проведем неподвижные координатные оси Oxyz (рис.4). Про­ектируя обе части равенства на эти оси и учитывая,что и т.д., получим дифферен­циальные уравнения криволинейного дви­жения точки в проекциях на оси прямо­угольной декартовой системы координат:

Рис.4

Так как действующие на точку силы мо­гут зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости, то правые части уравнений могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее скорости . При этом в правую часть каждого из уравнений могут входить все эти переменные.

Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при

Зная действующие силы, после интегрирования уравнений найдем координаты х, y, z движущейся точки, как функции времени t, т.е. найдем закон движения точки.

Пример 3. Изучим движение тела, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту, рассматривая его как материальную точку массы т. При этом сопротивлением воздуха пренебрежём, а поле тяжести будем считать однородным (Р =const), полагая, что дальность полёта и высота траектории малы по сравнению с радиусом Земли.

Поместим начало координат О в начальном положении точки. Направим ось вертикально вверх; горизонтальную ось Ox расположим в плоскости, проходящей через Оy и вектор , а ось Oz проведём перпендикулярно первым двум осям (рис.5). Тогда угол между вектором и осью Ox будет равен .

Рис.5

Изобразим движущуюся точку М где-нибудь на траектории. На точку действует одна только сила тяжести , проекции которой на оси координат равны: , , .

Подставляя эти величины в дифференциальные уравнения и замечая, что и т.д. мы после сокращения на m получим:

Умножая обе части этих уравнений на dt и интегрируя, находим:

Начальные условия в нашей задаче имеют вид:

при t =0:

Удовлетворяя начальным условиям, будем иметь:

, , .

Подставляя эти значения С 1 , С 2 и С 3 в найденное выше решение и заменяя , , на придём к уравнениям:

Интегрируя эти уравнения, получим:

Подстановка начальных данных даёт С 4 =С 5 =С 6 =0, и мы окончательно находим уравнения движения точки М в виде:

Из последнего уравнения следует, что движение происходит в плоскости Оxy .

Имея уравнение движения точки, можно методами кинематики определить все характеристики данного движения.

1. Траектория точки. Исключая из первых двух уравнений (1) время t, получим уравнение траектории точки:

Это - уравнение параболы с осью, параллельной оси Оy. Таким образом, брошенная под углом к горизонту тяжёлая точка движется в безвоздушном пространстве по параболе (Галилей).

2. Горизонтальная дальность. Определим горизонтальную дальность, т.е. измеренное вдоль оси Оx расстояние ОС=Х . Полагая в равенстве (2) y =0, найдём точки пересечения траектории с осью Ох . Из уравнения:

получаем

Первое решение дает точку О , второе точку С . Следовательно, Х=Х 2 и окончательно

Из формулы (3) видно, что такая же горизонтальная дальность X будет получена при угле , для которого , т.е. если угол . Следовательно, при данной начальной скорости в одну и ту же точку С можно попасть двумя траекториями: на­стильной () и навесной ().

При заданной начальной скорости наибольшая горизонтальная дальность в безвоздушном пространстве получается, когда , т.е. при угле .

3. Высота траектории. Если положить в уравнении (2)

То найдется высота траектории Н :

4. Время полета. Из первого уравнения системы (1) следует, что полное время полета Т определяется равенством . Заменяя здесь Х его значением, получим

При угле наибольшей дальности все найденные вели­чины равны:

Полученные результаты практически вполне приложимы для ориен­тировочного определения характеристик полета снарядов (ракет), имеющих дальности порядка 200…600 км, так как при этих дальностях (и при ) снаряд основную часть своего пути проходит в стратосфере, где сопротивлением воздуха можно пренебречь. При меньших дальностях на результат будет сильно влиять сопротивле­ние воздуха, а при дальностях свыше 600 км силу тяжести уже нельзя считать постоянной.

Пример 4. Из пушки, установленной на высоте h , произвели выстрел под углом к горизонту (рис. 6). Ядро вылетело из ствола орудия со скоростью u . Определим уравнения движения ядра.

Рис.6

Чтобы правильно составить дифференциальные уравнения движения, надо решать подобные задачи по определённой схеме.

а) Назначить систему координат (количество осей, их направление и начало координат). Удачно выбранные оси упрощают решение.

б) Показать точку в промежуточном положении. При этом надо проследить за тем, чтобы координаты такого положения обязательно были положительными (рис.6).

в) Показать силы, действующие на точку в этом промежуточном положении (силы инерции не показывать!).

В этом примере – это только сила , вес ядра. Сопротивление воздуха учитывать не будем.

г) Составить дифференциальные уравнения по формулам: . Отсюда получим два уравнения: и .

д) Решить дифференциальные уравнения.

Как видно из этого примера, схема решения задач довольно проста. Сложности могут возникнуть только при решении дифференциальных уравнений, которые могут оказаться непростыми.

2) Определение движения точки естественным способом.

Координатным способом обычно определяют движение точки, не ограниченные какими-либо условиями, связями. Если на движение точки наложены ограничения, на скорость или координаты, то определить такое движение координатным способом совсем не просто. Удобнее использовать естественный способ задания движения.

Определим, например, движение точки по заданной неподвижной линии, по заданной траектории (рис. 7).

Рис.7

На точку М кроме заданных активных сил , действует реакция линии. Показываем составляющие реакции по естественным осям

Используя основной закон динамики и формулы для ускорения МТ при различных способах задания движения, можно получить дифференциальные уравнения движения как свободной, так и несвободной материальной точки. При этом для несвободной материальной точки ко всем приложенным к МТ активным (заданным) силам надо добавить на основании аксиомы связей (принципа освобождаемости) силы пассивные (реакции связи).

Пусть – равнодействующая системы сил (активных и реакций), действующих на точку.

На основании второго закона динамики

с учетом соотношения, определяющего ускорение точки при векторном способе задания движения: ,

получим дифференциальное уравнение движения МТ постоянной массы в векторной форме:

Спроектировав соотношение (6) на оси декартовой системы координат Oxyz и использовав соотношения, определяющие проекции ускорения на оси декартовой системы координат:

получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на эти оси:

Спроектировав соотношение (6) на оси естественного трехгранника () и использовав соотношения, определяющие формулы для ускорения точки при естественном способе задания движения:

получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трехгранника:

Аналогично можно получить дифференциальные уравнения движения материальной точки в других системах координат (полярной, цилиндрической, сферической и т. д.).

С помощью уравнений (7)-(9) ставятся и решаются две основные задачи динамики материальной точки.

Первая (прямая) задача динамики материальной точки :

зная массу материальной точки и заданные тем или иным способом уравнения или кинематические параметры ее движения, необходимо найти действующие на материальной точки силы.

Например, если заданы уравнения движения материальной точки в декартовой системе координат:

то проекции на оси координат силы , действующей на МТ, определятся после использования соотношений (8):

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и направляющие косинусы углов, которые составляет сила с осями декартовой системы координат.

Для несвободной МТ обычно необходимо еще, зная действующие на нее активные силы, определить реакции связи.

Вторая (обратная) задача динамики материальной точки:

зная массу точки и действующие на нее силы, необходимо определить уравнения или кинематические параметры ее движения при определенном способе задания движения.

Для несвободной материальной точки обычно необходимо, зная массу материальной точки и действующие на нее активные силы, определить уравнения или кинематические параметры ее движения и реакции связи.

Силы, приложенные к точке, могут зависеть от времени, положения материальной точки в пространстве и от скорости ее движения, т. е.

Рассмотрим решение второй задачи в декартовой системе координат. Правые части дифференциальных уравнений движения (8) в общем случае содержат функции времени, координат, их производных по времени:

Для того, чтобы найти уравнения движения МТ в декартовых координатах, необходимо дважды проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (10), в которых неизвестными функциями являются координаты движущейся точки, а аргументом – время t. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что общее решение системы трех дифференциальных уравнений второго порядка содержит шесть произвольных постоянных:

где C g , (g = 1,2,…,6) – произвольные постоянные.

Продифференцировав соотношения (11) по времени, определим проекции скорости МТ на координатные оси:

В зависимости от значений постоянных C g , (g =1,2,…,6) уравнения (11) описывают целый класс движений, который могла бы совершить МТ под действием данной системы сил.

Действующие силы определяют только ускорение МТ, а скорость и положение МТ на траектории зависят еще от скорости, которую сообщили МТ в начальный момент, и от начального положения МТ.

Для выделения конкретного вида движения МТ (т. е. чтобы сделать вторую задачу определенной) надо дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные. В качестве таких условий задают начальные условия, т. е. в какой-то определенный момент времени, принимаемый за начальный, задаются координаты движущейся МТ и проекции ее скорости:

где – значения координат материальной точки и их производных в начальный момент времени t=0.

Используя начальные условия (13), формулы (12) и (11), получаем шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных:

Из системы (14) можно определить все шесть произвольных постоянных:

. (g = 1,2,…,6)

Подставляя найденные значения C g , (g = 1,2,…,6) в уравнения движения (11), находим решения второй задачи динамики в виде закона движения точки.

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА.

Динамика Материальное тело - тело, имеющее массу.

Материальная точка

Материальными

а - б в -

Инертность

Сила -

,

Система Инерциальная

Движение Пространство Время

Система

ТЕМА 1

Первый закон (закон инерции).

Изолированная

Например: - вес тела, -

- начальная скорость).

Второй закон (основной закон динамики).

При ускорения - движение точки - равнопеременное (рис. 5: а - движение - замедленное, ; б - движение - ускоренное, . - масса точки, - вектор ускорения, - вектор силы, - вектор скорости).

При - точка движется равномерно и прямолинейно либо при - покоится (закон инерции). Второй закон позволяет установить связь между массой тела , находящегося вблизи земной поверхности, и его весом , , где - ускорение свободного падения.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия).

Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Так как силы приложены к разным точкам, то система сил не является уравновешенной.(рис. 6). В свою очередь - отношение масс взаимодействующих точек обратно пропорционально их ускорениям.

Четвертый закон (закон независимости действия сил).

Ускорение, получаемое точкой при действии на нее одновременно нескольких сил, равно геометрической сумме тех ускорений, которые получила бы точка при действии на нее каждой силы в отдельности.

Пояснение (рис. 7). Равнодействующая сил определяется как . Так как и , то .

Вторая (обратная) задача.

Зная действующие на точку силы, ее массу и начальные условия движения, определить закон движения точки или какие-либо другие ее кинематические характеристики.

Начальные условия движения точки в декартовых осях - это координаты точки , , и проекции начальной скорости на эти оси , и в момент времени, соответствующий началу движения точки и принимаемый равным нулю.

Решение задач этого типа сводится к составлению дифференциальных уравнений (или одного уравнения) движения материальной точки и их последующему решению путем непосредственного интегрирования или с использованием теории дифференциальных уравнений.

ТЕМА 2 . ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

2.1. Основные понятия и определения

Механической системой или системой материальных точек называют совокупность взаимодействующих между собой материальных точек.

Примеры механических систем:

1. материальное тело, в том числе и абсолютно твердое, как совокупность взаимодействующих материальных частиц; совокупность взаимосвязанных твердых тел; совокупность планет солнечной системы и т. д.

2. Стая летящих птиц не является механической системой, т. к. между птицами нет силового взаимодействия.

Свободная механическая система - система, на движение точек которой не наложено никаких связей. Например: движение планет солнечной системы.

Несвободная механическая система - система, на движение точек которой наложены связи. Например: движение деталей в любом механизме, машине и т. п.

Классификация сил

Внешние силы - силы, действующие на точки данной механической системы со стороны других систем.

Внутренние - силы взаимодействия между точками одной механической системы.

На произвольную точку системы (рис. 1) действуют: - равнодействующая внешних сил (индекс - первая буква французского слова exterieur - (внешний)); - равнодействующая внутренних сил (индекс - от слова interieur - (внутренний)). Одна и та же сила реакции связи в зависимости от условия задачи может быть как внешней, так и внутренней.

Свойство внутренних сил

и - взаимодействующие точки механической системы (рис. 2). На основании 3-го закона динамики

С другой стороны: . Поэтому главный вектор и главный момент внутренних сил механической системы равны нулю:

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Динамика - раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел (точек) под действием приложенных сил. Материальное тело - тело, имеющее массу.

Материальная точка - материальное тело, различие в движении точек которого является несущественным. Это может быть как тело, размерами которого при его движении можно пренебречь, так и тело конечных размеров, если оно движется поступательно.

Материальными точками называют также частицы, на которые мысленно разбивается твердое тело при определении некоторых его динамических характеристик.

Примеры материальных точек (рис. 1): а - движение Земли вокруг Солнца. Земля - материальная точка; б - поступательное движение твердого тела. Твердое тело - материальная точка, т. к. ; в - вращение тела вокруг оси. Частица тела - материальная точка.

Инертность - свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил.

Сила - количественная мера механического взаимодействия между телами или между телом (точкой) и полем (электрическим, магнитным и т. д.). Сила - векторная величина, характеризующаяся величиной, точкой приложения и направлением (линией действия) (рис. 2: - точка приложения, - линия действия силы).

В динамике наряду с постоянными силами имеют место и переменные силы, которые могут зависеть от времени , скорости , расстояния или от совокупности этих величин, т. е.

Система отсчета - система координат, связанная с телом, по отношению к которому изучается движение другого тела. Инерциальная система - система, в которой выполняются первый и второй законы динамики. Это неподвижная система координат либо система, движущаяся равномерно и прямолинейно поступательно.

Движение в механике - это изменение положения тела в пространстве и во времени. Пространство в классической механике трехмерное, подчиняющееся эвклидовой геометрии. Время - скалярная величина, одинаково протекающая в любых системах отсчета.

Система единиц - это совокупность единиц измерения физических величин. Для измерения всех механических величин: достаточно трех основных единиц: единицы длины, времени, массы или силы. Все остальные единицы измерения механических величин - производные от этих. Применяются два типа систем единиц: международная система единиц СИ (или более мелкая - СГС) и техническая система единиц - МкГС.

ТЕМА 1 . ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.

1.1. Законы динамики материальной точки (законы Галилея-Ньютона)

Первый закон (закон инерции).

Изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.

Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил или под действием уравновешенной системы сил, называется движением по инерции.

Например: движение тела по гладкой (сила трения равна нулю) горизонтальной поверхности (рис. 4: - вес тела, - нормальная реакция плоскости). Так как , то .

При тело движется с той же скоростью; при тело покоится (- начальная скорость).

ДИНАМИКА

Электронный учебник по дисциплине: ”Теоретическая механика”

для студентов заочной формы обучения

Соответствует Федеральному образовательному стандарту

(третьего поколения)

Сидоров В.Н.,д.т.н.,профессор

Ярославский государственный технический университет

Ярославль, 2016

Введение …………………………………………………………………

Динамика…………………………………………………………………..

1.Введение в динамику. Основные положения …………………………

1.1.Основные понятия и определения ………………………………...

1.2.Законы Ньютона и задачи динамики ………………………………

1.3.Основные виды сил …………………................................................

Сила тяготения ……………………………………….. ………........

Сила тяжести ………………………………………………………..

Сила трения …………………………………………………………

Сила упругости ……………………………………………………..

1.4.Дифференциальные уравнения движения………………………..

Дифференциальные уравнения движения точки ………………..

Дифференциальные уравнения движения механической

системы …………………………………………………………….

2.Общие теоремы динамики ………………………. ……………………

2.1.Теорема о движении центра масс ……………….. ………………

2.2.Теорема об изменении количества движения ……………………

2.3.Теорема об изменении момента количества движения …… ……

Теорема моментов …………………………………………………

Кинетический момент твердого тела…………………………….

Осевой момент инерции твердого тела …………………………..

Теорема Гюйгенса – Штейнера – Эйлера ………………………..

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела …

2.4.Теорема об изменении кинетической энергии …………………..

Теорема об изменении кинетической энергии материальной

точки ……………………………………………………………….

Теорема об изменении кинетической энергии механической

системы ……………………………………………………………

Формулы для подсчета кинетической энергии твердого тела

в разных случаях движения ………………………………………

Примеры вычисления работы сил ……………………………….

2.5.Закон сохранения механической энергии ……………………….

Введение

«Кто не знаком с законами механики

тот не может познать природы»

Галилео Галилей

Значение механики, ее значительная роль в совершенствовании производства, повышении его эффективности, ускорении научно-технического процесса и внедрении научных разработок, росте производительности труда и улучшении качества выпускаемой продукции,к сожалению, понимается достаточно отчетливо не всеми руководителями министерств и ведомств, высших учебных заведений, равно как и то, что представляет механика наших дней /1/.Как правило, о ней судят по содержанию теоретической механики, изучаемой во всех высших технических учебных заведениях.

Студенты должны знать, насколько важна теоретическая механика, как одна из основополагающих инженерных дисциплин высшей школы,научная основа важнейших разделов современной техники, своеобразный мост, соединяющий математику и физику с прикладными науками, с будущей профессией. На занятиях по теоретической механике впервые студентам прививается системное мышление, умение ставить и решать практические задачи. Решать их до конца, до числового результата. Учиться анализировать решение, устанавливать границы его применимости и требование к точности исходных данных.

Не менее важно знать студентам, что теоретическая механика лишь вводная, хотя и совершенно необходимая, часть колоссального здания современной механики в широком понимании этой фундаментальной науки. Что она будет развиваться в других разделах механики: сопротивлении материалов, теории пластин и оболочек,теории колебаний, регулирования и устойчивости, кинематике и динамики машин и механизмов, механике жидкости и газа, химической механике.

Достижения всех разделов машиностроения и приборостроения, строительной индустрии и гидротехники, добычи и переработки руды, каменного угля, нефти и газа, железнодорожного и автомобильного транспорта, судостроения, авиации и космической техники опираются на глубокое понимание законов механики.

Учебное пособие предназначено для студентов машиностроительных, автомеханических специальностей заочной формы обучения в техническом университете по сокращенной программе курса.

Итак, несколько определений.

Теоретическая механика – это наука, изучающая общие законы механического движения и равновесия материальных объектов и возникающие при этом механические взаимодействия между материальными объектами.

Под механическим движением материального объекта понимают происходящее с течением времени изменение его положения по отношению к другим материальным объектам.

Под механическим взаимодействием подразумевают такие действия тел друг на друга, при которых изменяются движения этих тел, либо они сами деформируются (меняют свою форму).

Теоретическая механика состоит из трех разделов: статики, кинематики и динамики.

ДИНАМИКА

Введение в динамику. Основные положения

Основные понятия и определения

Сформулируем еще раз в несколько ином виде определение динамики как части механики.

Динамика – раздел механики, изучающий движение материальных объектов, с учетом действующих на них сил .

Обычно изучение динамики начинают с изучения динамики материальной точки и затем переходят к изучению динамики механической системы .

В силу схожести формулировок многих теорем и законов этих разделов динамики, дабы избежать излишнего дублирования и сократить текстовый объем учебника, целесообразно излагать эти разделы динамики совместно.

Введем некоторые определения.

Инерция (закон инерции ) – свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного поступательного движения в отсутствии действия на него со стороны других тел (т.е в отсутствии сил) .

Инертность - способность тел сопротивляться попыткам изменить с помощью сил их состояние покоя или равномерного прямолинейного движения .

Количественной мерой инерции служит масса (m). Эталоном массы является килограмм (кг).

Отсюда следует, что чем инертнее тело, чем больше его масса, тем меньше меняется его состояние покоя или равномерного движения под действием определенной силы, меньше меняется скорость тела, т.е. тело лучше сопротивляется воздействию силы. И наоборот, чем меньше масса тела, тем больше меняется его состояние покоя или равномерного движения, сильнее меняется скорость тела, т.е. тело хуже сопротивляется воздействию силы.

Законы и задачи динамики

Сформулируем законы динамики материальной точки. В теоретической механике они принимаются как аксиомы. Справедливость этих законов обусловлена тем, что на их базе строится все здание классической механики, законы которой выполняются с большой точностью. Нарушения законов классической механики наблюдаются только при больших скоростях (релятивистская механика) и в масштабах микромира (квантовая механика).

Основные виды сил

Прежде всего, введем разделение всех встречающихся в природе сил на активные и реактивные (реакции связей).

Активной называют такую силу, которая может привести в движение покоящееся тело .

Реакция связи возникает в результате действия активной силы на несвободное тело и препятствует перемещению тела . Собственно поэтому, являясь следствием, откликом, последействием активной силы.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в задачах механики силы.

Сила тяготения

Эта сила гравитационного притяжения между двумя телами, определяемая законом всемирного тяготения:

где - ускорение силы тяжести у поверхности Земли, численно равное g ≈ 9,8 м/с 2 , m – масса тела, или механической системы, определяемая как совокупная масса всех точек системы:

где - радиус-вектор k- ой точки системы. Координаты центра масс можно получить, спроецировав обе части равенства (3.6) на оси:

(7)

Сила трения

В инженерных расчетах исходят из экспериментально установленных закономерностей, называемых законами сухого трения (в отсутствии смазки), или законами Кулона :

· При попытке сдвинуть одно тело вдоль поверхности другого возникает сила трения (сила трения покоя ), величина которой может принимать значения от нуля до некоторого предельного значения .

· Величина предельной силы трения , равна произведению некоторого безразмерного, экспериментально определяемого коэффициента трения f на силу нормального давления N , т.е.

· По достижению предельного значения силы трения покоя за исчерпанием сцепных свойств сопрягающихся поверхностей тело начинает перемещаться вдоль опорной поверхности, причем сила сопротивления движению практически постоянна и не зависит от скорости (разумных пределах). Эта сила называется силой трения скольжения и она равна предельному значению силы трения покоя.

· поверхности.

Приведем значения коэффициента трения для некоторых тел:

Табл. 1

Трение качения

Рис.1

При качении колеса без проскальзывания (рис. 1) реакция опоры несколько смещается вперед по ходу движения колеса. Причина этого – в несимметричности деформации материала колеса и опорной поверхности в зоне контакта. Под действием силы давление у края В зоны контакта возрастает, а у края А убывает. В результате реакция оказывается смещенной в сторону движения колеса на величину k , называемой коэффициентом трения качения . На колесо действует пара сил и с моментом сопротивления качению, направленным против вращения колеса:

В условиях равновесия при равномерном качении моменты пар сил , и , уравновешивают друг друга: , откуда вытекает оценка значения силы, направленной против движения тела: . (10)

Отношение для большинства материалов значительно меньше коэффициента трения f. Этим и объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением.

Сила упругости

Эта сила, с которой деформированное тело стремится вернуться в свое исходное, недеформированное состояние. Если, например, растянуть пружину на величину λ , то сила упругости и ее модуль равны, соответственно:

Знак минус в векторном соотношении показывает, что сила направлена в противоположную сторону от перемещения . Величина с носит название «жесткость » и имеет размерность Н/м.

Дифференциальные уравнения движения

Дифференциальные уравнений движения точки

Вернемся к выражению основного закона динамики точки в виде (3.2), записав его в виде векторных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядков (нижний индекс будет соответствовать номеру силы):

(17)

(18)

Сравним, например, системы уравнений (15) и (17). Легко увидеть, что в описание движения точки в координатных осях сводится к 3-м дифференциальным уравнениям 2-го порядка, или (после преобразования), к 6-и уравнениям 1-го порядка. В тоже время описание движения точки в естественных осях связано со смешанной системой уравнений, состоящей из одного дифференциального уравнения 1-го порядка (относительно скорости ) и двух алгебраических.

Отсюда можно сделать вывод, что при анализе движения материальной точки иногда проще решать первую и вторую задачи динамики, формулируя уравнения движения в естественных осях .

К первой или прямой задаче динамики материальной точки относятся задачи в которых по заданным уравнениям движения точки, ее массе необходимо найти силу (или силы) действующие на нее.

Ко второй или обратной задаче динамики материальной точки относятся задачи в которых по ее массе, силе (или силам), действующей на нее и известным кинематическим начальным условиям требуется определить уравнения ее движения.

Необходимо отметить, что при решении 1-й задачи динамики дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические, решение системы которых является тривиальной задачей. При решении 2-ой задачи динамики для решения системы дифференциальных уравнений необходимо сформулировать задачу Коши, т.е. добавить к уравнениям т.н. «краевые» условия. В нашем случае – это условия, налагающие ограничения на положение и скорость в начальный (конечный) момент времени, или т.н. «

Поскольку по закону равенства действия и противодействия внутренние силы всегда парные (действуют на каждую из двух взаимодействующих точек), они равны, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки, то их сумма попарно равна нулю. Кроме того, сумма моментов этих двух сил относительно любой точки также равна нулю. Это означает, что сумма всех внутренних сил исумма моментов всех внутренних сил механической системы порознь равны нулю :

.

(23)

Здесь, - соответственно главный вектор и главный момент внутренних сил, вычисленный относительно точки О.

Равенства (22) и (23) отражают свойства внутренних сил механической системы .

Пусть на некую k –ю материальную точку механической системы действуют одновременно как внешние, так и внутренние силы. Поскольку они приложены к одной точки, их можно заменить равнодействующими соответственно внешних () и внутренних ()сил. Тогда основной закон динамики k –й точки системы может быть записан, как , следовательно для всей системы будет:

(24)

Формально число уравнений в (24) соответствует числу n точек механической системы.

Выражения (24) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме , если в них заменить вектора ускорений первой или второй производными от скорости и радиус-вектора соответственно: По аналогии с уравнениями движения одной точки (15) эти векторные уравнения можно преобразовать в систему из 3n дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Общие теоремы динамики

Общими называются такие теоремы динамики материальной точки и механической системы, которые дают закономерности справедливые для любых случаев движения материальных обьектов в инерциальной системе отсчета.

Эти теоремы вообще говоря являются следствиями из решений системы дифференциальных уравнений, описывающей движения материальной точки и механической системы.

Пусть Oxyz - инерциальная система координат, М - движущая точка массы m, - равнодействующая всех сил, приложенных к точке, - ускорение точки (рис. 1). В любой момент времени для движущейся точки выполняется основное уравнение динамики:

Вспоминая из кинематики формулу

выражающую ускорение через радиус-вектор точки, представим основное уравнение динамики в следующем виде:

Это равенство, выражающее основное уравнение динамики в дифференциальной форме, называется векторным дифференциальным уравнением движения материальной точки.

Векторное дифференциальное уравнение эквивалентно трем скалярным дифференциальным уравнениям того же порядка. Они получаются, если основное уравнение динамики спроектировать на координатные оси и записать в координатной форме:

Так как эти равенства запишутся так:

Полученные равенства называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовой системе координат. В этих уравнениях текущие координаты точки, - проекции на координатные оси равнодействующей сил, приложенных к точке.

Если для ускорения воспользоваться формулой

то векторное и скалярные дифференциальные уравнения движения точки запишутся в виде дифференциальных уравнений первого порядка: - векторное дифференциальное уравнение; - скалярные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения движения точки можно записать не только в декартовой, но в любой другой системе координат.

Так, проектируя основное уравнение динамики на естественные координатные оси, получаем равенства:

где - проекции ускорения на касательную, главную нормаль и бинормаль траектории в текущем положении точки; - проекции равнодействующей силы на эти же оси. Вспоминая формулы кинематики для проекций ускорения на естественные оси и подставляя их в написанные равенства, получим:

Это дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественной форме. Здесь - проекция скорости на направление касательной, - радиус кривизны траектории в текущем положении точки. Многие задачи динамики точки решаются более просто, если воспользоваться дифференциальными уравнениями движения в естественной форме.

Рассмотрим примеры на составление дифференциальных уравнений движения.

Пример 1. Материальная точка массой брошена под углом к горизонту и движется в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости: , где b - заданный постоянный коэффициент пропорциональности.

Изображаем движущуюся точку в произвольный (текущий) момент времени t, прикладываем действующие силы - силу сопротивления R и вес точки (рис. 2). Выбираем координатные оси - начало координат принимаем в начальном положении точки, ось направляем горизонтально в сторону движения, ось у - вертикально вверх. Определяем проекции равнодействующей на выбранные оси ( - угол наклона скорости к горизонту):

Подставляя эти значения в дифференциальные уравнения движения точки в общем виде, получаем дифференциальные уравнения движения, соответствующие нашей задаче:

Третье уравнение отсутствует, так как движение происходит в плоскости .

Пример 2. Движение математического маятника в пустоте. Математическим маятником называют материальную точку М, подвешенную при помощи невесомой нити (или стержня) длиной к неподвижной точке О и движущуюся под действием силы тяжести в вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса (рис. 3). В данном примере траектория точки известна (это окружность радиуса с центром в точке О), поэтому целесообразно воспользоваться дифференциальными уравнениями движения в естественной форме. Принимаем за начало отсчета дуговой координаты наинизшую точку окружности направление отсчета выберем вправо. Изображаем естественные оси - касательную , главную нормаль бинормаль направлена на читателя. Проекции на эти оси равнодействующей приложенных сил - веса и реакции связи таковы ( - угол наклона маятника к вертикали).