Восходящие и нисходящие серии. Что будем делать с полученным материалом

Этот критерий «улавливает» постепенное смещение среднего значения в исследуемом распределении не только монотонного, но и более общего, например, периодического характера.

Так же, как и в предыдущем критерии, исследуется последовательность знаков - плюсов и минусов, однако правило образования этой последовательности в данном критерии иное.

Здесь на i- ом месте вспомогательной последовательности ставится «+», если y i+ 1 - y i > 0, и «-», если y i+ 1 - y i < 0 (если два или несколько следующих друг за другом наблюдений равны между собой, то принимается во внимание только одно из них).

Последовательность подряд идущих «+» (восходящая серия) будет соответствовать возрастанию результатов наблюдения, а последовательность «-» (нисходящая серия) - их убыванию. Критерий основан на том же соображении, что и предыдущий: если выборка случайна, то в образованной последовательности знаков общее число серий не может быть слишком малым, а их протяженность - слишком большой.

При уровне значимости 0,05 < a < 0,0975 критерий вид:

где величина t 0 (n ) определяется следующим образом:

Если хотя бы одно из неравенств (1.6) окажется нарушенным, то гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда следует отвергнуть.

Один из способов проверки обнаружения тренда основан на сравнении средних уровней ряда:

временной ряд разбивают на две примерно равные по числу уровней части, каждая из которых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение.

Если временной ряд имеет тенденцию к тренду, то средние, вычисленные для каждой совокупности, должны существенно (значимо) различаться между собой.

Если же расхождение незначительно, несущественно (случайно), то временной ряд не имеет тенденции.

Таким образом, проверка наличия тренда в исследуемом ряду сводится к проверке гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей. Рассмотрим применение этого метода на следующем примере.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Эконометрика

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования.. мурманский государственный технический университет.. кафедра ис и пм..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Временной ряд – это набор чисел, привязанный к последовательным, обычно равноотстоящим моментам времени
Числа, составляющие временной ряд и получающиеся в результате наблюдения за ходом некоторого процесса, называются уровнями временного ряда или элементами.

Требования к исходной информации
Применяемые при обработке временных рядов методы во многом опираются на методы математической статистики, которые базируются на достаточно жестких требованиях к исходным данным (таким как од

Этапы построения прогноза по временным рядам
экстраполяционное прогнозирование экономических процессов, представленных одномерными временными рядами, сводится к выполнению следующих основны

Предварительный анализ данных
В ходе предварительного анализа определяют соответствие имею­щихся данных требованиям, предъявляемым к ним математическими ме­тодами (объективности, сопоставимости, полноты, однородности и устойчив

Решение
Результаты расчетов по методу Ирвина приведены в табл1.3.

Метод простой скользящей средней
1. Согласно этому методу определяется количество наблюдений, входящих в интервал сглаживания. При этом используют правило: если необходи

Процедура продолжается до тех пор, пока в интервал сглаживания не войдет последнее наблюдение временного ряда
Недостатком метода является невключение в процедуру сглаживания первых и последних p наблюдений временного ряда. Метод простой скользящей средней

Этот метод отличается от предыдущего тем, что сглаживание внутри интервала производится не по прямой, а по кривой более высокого порядка
Это обусловлено тем, что суммирование членов ряда, входящих в интервал сглаживания, производится с определенными весами, рассчитанными по методу наименьших квадратов. Если сгл

Метод экспоненциального сглаживания
Рассмотренные методы простой и взвешенной скользящей средней не дают возможности сгладить первые и последние p наблюдений временного ряда. Отсутствие сглаженных первых наблюдений не так ва

Показатель среднего абсолютного прироста используется для построения простейших так называемых наивных прогнозов
Прогноз на k- шагов вперед на момент вре­мени t=n+1получается по формуле:

Порядок коэффициентов автокорреляции определяет временной лаг: первого порядка (при t= 1), второго порядка (при t= 2) и т. д
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго, третьего и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией. Знач

На практике, как правило, при вычислении автокорреляции используется формула (1.13)
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы поз­воляет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и кор

Аналитические методы выделения (оценки) неслучайной составляющей временного ряда
Формирование уровней ряда определяется закономерностями трех ос­новных типов: инерцией тенденции, инерцией взаимосвязи между после­довательными уровнями ряда и инерцией взаимосвязи между исследу

Модели кривых роста
Плавную кривую (гладкую функцию), аппроксимирующую временной ряд принято называть кривой роста. Аналитические методы выделения (оценки) неслу

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы
С этой целью строится t-статистика: , (1.22)

Критерий «пиков», или критерий поворотных точек
Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов. Если остатки случайны, то поворотная точка прихо

Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проверяют с помощью критерия Дарбина – Уотсона
Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения важно с точки зрения правомерности построения доверительных интервалов прогноза.

То гипотеза о нормальном характере распределения отвергается
В случае попадания коэффициентов асимметрии и эксцесса в зону неопределенности (между полутора и двумя СКО) используются другие критерии, частности RS- критерий:

Средняя относительная по модулю ошибка
|Еср|отн= |Еср| / Yср * 100% (1.25) Эти показатели дают представление об абсолютной величине ошибки

Прогнозы
Точечный прогноз на основе временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t=n+1

Оценка параметров модели по формуле (3.5) «вручную»
Промежуточные расчеты параметров линейной модели по формулам (1.5) приведены в табл. 1.15. Табл. 1.15 №

Мы не раз говорили о том, что культура – явление сложное, многоуровневое, многообразное, обладает множеством характеристик, интерпретируется в большом числе определений, авторы которых организуют их вокруг тех или иных культурных атрибутов. Неудивительно, что и типологий культуры существует почти бесконечное...
 (Культурология)
  • Критерий недостаточного основания (критерий Лапласа).
    Критерий минимакса имеет тот недостаток, что он сориентирован на учет лишь самой неблагоприятной ситуации. Такой критерий имеет безусловное преимущество, если выбор стратегии приходится делать в условиях, когда кто-то (назовем его противником) стремится создать нам такие условия. Соответствующие ситуации...
     (ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И СЕТИ: МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ)
  • Критерий серий
    Для применения критерия серий необходимо вычислить выборочную медиану временного ряда где x(t) - вариационный ряд, полученный из исходного временного ряда x(t) путем упорядочивания его значений. Далее на основе исходного временного ряда строится последовательность условных знаков «+» и...
     (ЭКОНОМЕТРИКА)
  • Количественные показатели эффекта, величины выборки и мощности критерия
    Количественное представление экспериментально установленной зависимости При обсуждении возможности установления разных базисных процессов, стоящих за фиксируемыми психологическими показателями, мы уже затронули проблему разных интерпретаций одной и той же переменной. Теперь отметим только тот...
     (Экспериментальная психология)
  • Критерий восходящих и нисходящих серий
    Данный критерий, так же как и критерий серий, основан на использовании последовательности условных знаков. Правило формирования этой последовательности заключается в следующем: знак «+» ставят, если x(t + 1) > x(t) знак «-» ставят, если x(t + 1) x(t). Среди одинаковых...
     (ЭКОНОМЕТРИКА)
  • Восходящее и нисходящее проектирование БД
    Первое применяют в распределенных БД при интеграции спроектированных локальных баз данных, которые могут быть выполнены с использованием различных моделей данных. Более характерным для централизованных БД является нисходящее проектирование. В последующих разделах первоначально будет рассмотрен классический...
     (Базы данных)
  • Нисходящее и восходящее проектирование
    Одна из основных идей, положенных в большинство известных технологий программирования, – нисходящее проектирование (Top-Down Programming – программирование "сверху вниз"). Существуют также другие названия: "метод пошаговой детализации", "систематическое программирование",...
     (Информатика)
  • 10. Нормальная линейная модель парной (однофакторной) регрессии
  • 11. Критерии оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии
  • 12. Оценивание неизвестных коэффициентов модели регрессии методом наименьших квадратов. Теорема Гаусса – Маркова
  • 13. Система нормальных уравнений и явный вид ее решения при оценивании методом наименьших квадратов линейной модели парной регрессии
  • 14. Оценка коэффициентов модели парной регрессии с помощью выборочного коэффициента регрессии
  • 15. Оценка дисперсии случайной ошибки модели регрессии
  • 16. Состоятельность и несмещённость мнк-оценок
  • 17. Эффективность мнк-оценок мнк
  • 18. Характеристика качества модели регрессии
  • 19. Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки статистической гипотезы
  • 20. Ошибки первого и второго рода. Понятие о статистических критериях. Критическая область, критические точки
  • 21. Правосторонняя критическая область. Левосторонняя и двусторонняя критические области. Мощность критерия
  • 22. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов модели парной регрессии
  • 23. Проверка гипотезы о значимости парного коэффициента корреляции
  • 24. Проверка гипотезы о значимости модели парной регрессии. Теорема о разложении сумм квадратов
  • 25. Точечный и интервальный прогнозы для модели парной регрессии
  • 26. Линейная модель множественной регрессии
  • 27. Классический метод наименьших квадратов для модели множественной регрессии. Метод Крамера
  • 28. Линейная модель множественной регрессии стандартизированного масштаба
  • 29. Соизмеримые показатели тесноты связи
  • 30. Частные коэффициенты корреляции для линейной модели регрессии с двумя факторными переменными
  • 31. Частные коэффициенты корреляции для модели множественной регрессии с тремя и более факторными переменными
  • 32. Построение частных коэффициентов корреляции для модели множественной регрессии через показатель остаточной дисперсии и коэффициент множественной детерминации
  • 33. Коэффициент множественной корреляции. Коэффициент множественной детерминации
  • 34. Проверка гипотезы о значимости частного и множественного коэффициентов корреляции
  • 35. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов регрессии и модели множественной регрессии в целом
  • 36. Процедура проверки адекватности оцененной линейной эконометрической модели на примере модели Оукена
  • 37. Определение мультиколлинеарности. Последствия мультиколлинеарности. Методы обнаружения мультиколлинеарности
  • 38. Методы устранения мультиколлинеарности
  • 39. Модели регрессии, нелинейные по факторным переменным
  • 40. Модели регрессии, нелинейные по оцениваемым коэффициентам
  • 41. Модели регрессии с точками разрыва
  • 42. Метод наименьших квадратов для моделей регрессии, нелинейных по факторным переменным
  • 43. Метод наименьших квадратов для моделей регрессии, нелинейных по оцениваемым коэффициентам
  • 44. Методы нелинейного оценивания коэффициентов модели регрессии
  • 45. Показатели корреляции и детерминации для нелинейных моделей регрессии
  • 46. Проверка гипотезы о значимости нелинейной модели регрессии. Проверка гипотезы о линейной зависимости между переменными модели регрессии
  • 47. Тесты Бокса-Кокса и Зарембеки выбора модели регрессии
  • 48. Коэффициенты эластичности
  • 49. Производственные функции
  • 50. Двухфакторная производственная функция Кобба-Дугласа
  • 51. Показатели двухфакторной производственной функции Кобба-Дугласа
  • 52. Метод наименьших квадратов для двухфакторной производственной функции Кобба-Дугласа. Эффект от масштаба производства
  • 53. Двухфакторная производственная функция Солоу
  • 54. Многофакторные производственные функции
  • 55. Модели бинарного выбора
  • 56. Метод максимума правдоподобия
  • 57. Гетероскедастичность остатков модели регрессии
  • 58. Тест Глейзера обнаружения гетероскедастичности остатков модели регрессии
  • 59. Тест Голдфелда-Квандта обнаружения гетероскедастичности остатков модели регрессии
  • 60. Устранение гетероскедастичности остатков модели регрессии
  • 61. Автокорреляция остатков модели регрессии. Последствия автокорреляции. Автокорреляционная функция
  • 62. Критерий Дарбина-Уотсона обнаружения автокорреляции остатков модели регрессии
  • 63. Устранение автокорреляции остатков модели регрессии
  • 64. Методы Кохрана-Оркутта и Хилдрета-Лу оценки коэффициента автокорреляции
  • 65. Обобщённая модель регрессии. Обобщённый метод наименьших квадратов. Теорема Айткена
  • 66. Доступный обобщённый метод наименьших квадратов. Взвешенный метод наименьших квадратов
  • 67. Модели регрессии с переменной структурой. Фиктивные переменные
  • 68. Тест Чоу
  • 69. Спецификация переменных
  • 70. Компоненты временного ряда
  • 71. Метод проверки гипотезы о существовании тренда во временном ряду, основанный на сравнении средних уровней ряда
  • 72. Критерий «восходящих и нисходящих» серий. Критерий серий, основанный на медиане выборочной совокупности
  • 73. Метод Форстера-Стьюарта проверки гипотез о наличии или отсутствии тренда. Метод Чоу проверки стабильности тенденций
  • 74. Аналитический вид тренда
  • 75. Адекватность трендовой модели
  • 76. Сезонные и циклические компоненты временного ряда
  • 77. Сезонные фиктивные переменные
  • 78. Одномерный анализ Фурье
  • 79. Методы фильтрации временного ряда
  • 80. Автокорреляция уровней временного ряда. Анализ структуры временного ряда на основании коэффициентов автокорреляции
  • 81. Стационарный процесс. Стационарный временной ряд. Белый шум
  • 82. Линейные модели стационарного временного ряда
  • 83. Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего
  • 84. Показатели качества модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего
  • 85. Критерий Дикки-Фуллера проверки наличия единичных корней
  • 86. Цензурированные результативные переменные
  • 87. Системы эконометрических уравнений
  • 88. Структурная и приведённая формы системы одновременных уравнений. Идентификация модели
  • 89. Условия идентификации структурной формы системы одновременных уравнений
  • 90. Косвенный метод наименьших квадратов (кмнк)
  • 91. Метод инструментальных переменных
  • 92. Двухшаговый метод наименьших квадратов (дмнк)
  • 93. Спецификация и приведенная форма эконометрических моделей в виде системы одновременных уравнений. Эконометрическая модель Самуэльсона-Хикса делового цикла экономики
  • 94. Динамические эконометрические модели
  • 95. Модели авторегрессии
  • 96. Модели с распределённым лагом
  • 97. Метод Алмон
  • 98. Нелинейный метод наименьших квадратов. Метод Койка
  • 99. Модель адаптивных ожиданий (мао)
  • 100. Модель частичной (неполной) корректировки (мчк)

    • 72. Критерий «восходящих и нисходящих» серий. Критерий серий, основанный на медиане выборочной совокупности

    При использовании для проверки утверждения о присутствии во временном ряду трендовой компоненты критерия «восходящих и нисходящих» серий, против каждого из уровней временного ряда объёмом N ставится знак «+», если данный уровень больше предыдущего, или знак «-», если уровень меньше предыдущего. В результате данной процедуры получаем совокупность знаков объёмом (N-1 ).

    Последовательность из знаков «+» или «-» называется серией. Обозначим общее количество серий данного временного ряда как γ φ .

    Если хотя бы одно из следующих неравенств не выполняется, то основная гипотеза об отсутствии тренда отклоняется.

    2) φ набл≤φ0,

    где φ0=5, если N<26;

    φ0=6, если 26

    φ0=7, если 153

    а=0,05 .

    При использовании для проверки утверждения о присутствии во временном ряду трендовой компоненты критерия серий, основанного на медиане выборочной совокупности, временной ряд объёмом N ранжируется, т. е. все наблюдения упорядочиваются по возрастанию, и рассчитывается медиана ранжированного ряда.

    Медианой называется наблюдение, которое делит ранжированный временной ряд на две равные части.

    Если временной ряд содержит нечётное количество наблюдений, то в качестве медианы принимается значение, стоящее в середине данного ряда.

    Если временной ряд содержит чётное количество наблюдений, то в качестве медианы берётся среднее арифметическое значение двух наблюдений, находящихся посередине временного ряда.

    Уровни исходного временного ряда сравниваются с медианой по следующему принципу:

    1) если уровень временного ряда больше медианы, то ему приписывается знак «+»;

    2) если уровень временного ряда меньше медианы, то ему приписывается знак «-».

    Обозначим общее количество серий данного временного ряда как γ . Самую длинную серию из плюсов или минусов обозначим как φ .

    Основная гипотеза формулируется как утверждение об отсутствии трендовой компоненты во временном ряду.

    Если хотя бы одно из следующих неравенств не выполняется, то основная гипотеза об отсутствии тренда в изучаемом временем ряду отклоняется:

    Гипотеза об отсутствии тренда проверяется при уровне значимости а=0,05 .

    73. Метод Форстера-Стьюарта проверки гипотез о наличии или отсутствии тренда. Метод Чоу проверки стабильности тенденций

    Одним из наиболее простых методов выявления трендовой компоненты во временном ряду является метод Форстера-Стьюарта.

    На первом шаге реализации данного метода каждый уровень временного ряда yt

    сравнивается со всеми предыдущими уровнями. На основании результатов сравнений рассчитываются вспомогательные величины:

    Величина dt может принимать значения +1, 0, -1.

    Общее количество вспомогательных величин будет равно (N-1 ).

    На следующем шаге все значения величины dt суммируются, и рассчитывается величина D по формуле:

    Основная гипотеза формулируется как утверждение об отсутствии трендовой компоненты во временном ряду.

    Основная гипотеза проверяется с помощью t-критерия Стьюдента.

    Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

    Критическое значение t-критерия tкрит(а,N–1) определяется по таблице распределения Стьюдента, где а – уровень значимости, (N-1 ) – число степеней свободы.

    Наблюдаемое значение t-критерия при проверке основной гипотезы определяется по формуле:

    где SD – стандартное отклонение величины D . Значения SD для временных рядов, длиной от 10 до 100 наблюдений, занесены в специальную таблицу.

    При проверке гипотез возможны следующие ситуации.

    Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|>tкрит , то основная гипотеза отвергается. Следовательно, в исходном временном ряду присутствует трендовая компонента.

    Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т.е. |tнабл|≤tкрит , то основная гипотеза принимается. Следовательно, в исходном временном ряду отсутствует трендовая компонента.

    С помощью метода или теста Чоу проверяется основная гипотеза о стабильности временного ряда. Если ряд характеризуется нестабильной тенденцией, то с определённого момента времени t* происходит изменение характера динамики анализируемого показателя под влиянием ряда внешних факторов, что в результате приводит к изменению параметров уравнения тренда, описывающего данную динамику.

    Следовательно, весь временной ряд можно разделить на две подвыборки: первая подвыборка содержит значения временного ряда до переломного момента t* и вторая подвыборка содержит значения временного ряда после переломного момента.

    Будем считать, что весь временной ряд представляет собой модель регрессии модель без ограничений. Обозначим данную модель через UN . Отдельными подвыборками будем считать частные случаи модели регрессии без ограничений. Обозначим эти частные подвыборки как PR .

    Введём следующие обозначения:

    PR1 – первая подвыборка;

    PR2 – вторая подвыборка;

    ESS(PR1) – сумма квадратов остатков для первой подвыборки;

    ESS(PR2) – сумма квадратов остатков для второй подвыборки;

    ESS(UN) – сумма квадратов остатков для общей модели регрессии.

    – сумма квадратов остатков для наблюдений первой подвыборки в общей модели регрессии;

    – сумма квадратов остатков для наблюдений второй подвыборки в общей модели регрессии.

    Для частных моделей регрессии справедливы следующие неравенства:

    Условие (ESS(PR1)+ESS(PR2))= ESS(UN) выполняется только в том случае, если коэффициенты частных моделей регрессии и коэффициенты общей модели регрессии без ограничений будут одинаковы, но на практике такое совпадение встречается очень редко.

    Основная гипотеза формулируется как утверждение о структурной стабильности тенденции общего временного ряда.

    Альтернативная или обратная гипотеза формулируется как утверждение о структурной нестабильности тенденции общего временного ряда

    Данные гипотезы проверяются с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.

    Наблюдаемое значение F-критерия сравнивают с критическим значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора.

    Критическое значение F-критерия Фишера определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора в зависимости от уровня значимости а и двух степеней свободы k1=m+1 и k2=n-2m-2.

    Наблюдаемое значение F-критерия рассчитывается по формуле:

    где ESS(UN) – ESS(PR1) – ESS(PR2) – величина, характеризующая улучшение качества модели регрессии после разделения её на подвыборки;

    m – количество факторных переменных (в том числе фиктивных);

    n – объём общей выборочной совокупности.

    При проверке выдвинутых гипотез возможны следующие ситуации.

    Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл≥Fкрит , то основная гипотеза отклоняется. Следовательно, исходный временной ряд не имеет общей стабильной тенденции.

    Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл‹Fкрит , то основная гипотеза принимается. Следовательно, исходный временной ряд может быть описан одним трендовым уравнением.

    "
    Этот критерий улавливает постепенное смещение среднего значения в исследуемом распределении не только монотонного, но и более общего, например, периодического характера. Это более мощный критерий по сравнению с критерием серий, основанном на медиане .
    Если одновременно выполняются условия:

    то гипотеза об отсутствии тренда принимается.

    Назначение сервиса . Онлайн калькулятор используется для определения тенденции в ряду с помощью критерия “восходящих” и “нисходящих” серий .

    Инструкция . Укажите количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word .

    Алгоритм метода

    , реализуется в виде следующей последовательности шагов:
    1. Составляем последовательность из плюсов и минусов по правилу: на i-м месте в ряду y 1 ,y 2 , ... ,y n . ставится знак плюс, если y i+1 - y i > 0, и знак минус, если y i+1 - y i < 0. Если y i+1 = y i , учитывается только y i: проверяется y i >0 либо y i <0. Такую же проверку делают и для y n .
    2. В исходной выборке вместо каждого y i будем ставить "+", если y i > Me, "-", если y i < Me. Если y i = Me, то не ставится никакой знак. При этом под серией понимается последовательность подряд идущих "+" или "-". Серия может состоять только из одного "+" или "-". Длина серии - количество подряд идущих "+" или "-".
    3. Полученная последовательность "+" и "-" характеризуется количеством серий v(n) = 12 и длиной самой длинной серии t(n) = 3.
    Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким. Поэтому для того, чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей) должны выполняться следующие неравенства:

    t kp: 5, при n < 26 ; 6, при 26 ≤ n < 153; 7, при 153 ≤ n < 1170.
    u t - квантиль нормального распределения уровня (1-α)/2.
    Числа v(n) и t(n) необходимо округлить вниз до ближайшего целого.

    Пример . Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда. В течение последовательных недель фик¬сировался спрос Y(t) (млн р.) на кредитные ресурсы финансовой компании.

    4.028

    4.032

    Следующая процедура этапа предварительного анализа данных – выявление наличия тенденций в развитии исследуемого показателя. Отметим, что тенденция прослеживается не только в увеличении или уменьшении среднего текущего значения временного ряда , но она присуща и другим его характеристикам: дисперсии , автокорреляции, корреляции с другими показателями и т. д. тенденцию среднего визуально можно определить из графика исходных данных. Процедура проверки наличия или отсутствия неслучайной (и зависящей от времени t) составляющей по существу, состоит в статистической проверке гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда:

    Эта процедура может быть осуществлена с помощью различных критериев [, Прикладная статистика и основы эконометрики . М.: ЮНИТИ, 1998] приведем некоторые из них.

    Критерий серий, основанный на медиане. Расположим члены анализируемого временного ряда в порядке возрастания, т. е. образуем ряд:

    .

    Определим выборочную медиану по формуле

    (3.4.4)

    После этого мы образуем «серии» из плюсов и минусов, на статистическом анализе которых основана процедура проверки гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда.


    По исходному временному ряду, построим последовательность из плюсов и минусов следующим образом: вместо xt ставится «+», если , и «-», если (члены временного ряда, равные , в полученной таким образом последовательности плюсов и минусов не учитываются).

    Образованная последовательность плюсов и минусов характеризуется общим числом серий n (n ) и протяженностью самой длинной серии t (n ). При этом под «серией» понимается последовательность подряд идущих плюсов и подряд идущих минусов. Если исследуемый ряд состоит из статистически независимых наблюдений, случайно варьирующих около некоторого постоянного уровня (т. е. справедлива гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда), то чередование «+» и «-» в построенной последовательности должно быть случайным, т. е. эта последовательность не должна содержать слишком длинных серий подряд идущих «+» или «-», и, соответственно, общее число серий не должно быть слишком малым. Так что в данном критерии целесообразно рассматривать одновременно пару критических статистик (n (n ); t (n )).

    Справедлив следующий приближенный статистический критерия проверки гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда:

    если хотя бы одно из неравенств (3.4.5)

    окажется нарушенным, то гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда отвергается с вероятностью ошибки a , такой, что 0,05 < a < 0,0975 и, тем самым, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей в разложении Y (t) = f (t )+ S (t )+U (t )+(t ).

    Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий. Этот критерий «улавливает» постепенное смещение среднего значения в исследуемом распределении не только монотонного, но и более общего, например, периодического характера.

    Так же, как и в предыдущем критерии, исследуется последовательность знаков - плюсов и минусов, однако правило образования этой последовательности в данном критерии иное. Здесь на i- ом месте вспомогательной последовательности ставится «+», если yi+ 1 - yi > 0, и «-», если yi+ 1 - yi < 0 (если два или несколько следующих друг за другом наблюдений равны между собой, то принимается во внимание только одно из них). Последовательность подряд идущих «+» (восходящая серия) будет соответствовать возрастанию результатов наблюдения, а последовательность «-» (нисходящая серия) - их убыванию. Критерий основан на том же соображении, что и предыдущий: если выборка случайна, то в образованной последовательности знаков общее число серий не может быть слишком малым, а их протяженность - слишком большой.

    При уровне значимости 0,05 < a < 0,0975 критерий вид:

    (3.4.6)

    где величина t 0(n ) определяется следующим образом:

    26 < n £ 153

    153 < n £ 1170

    t 0(n )

    Если хотя бы одно из неравенств (3.4.6) окажется нарушенным, то гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда следует отвергнуть.

    Один из способов проверки обнаружения тренда основан на сравнении средних уровней ряда: временной ряд разбивают на две примерно равные по числу уровней части, каждая из которых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение. Если временной ряд имеет тенденцию к тренду, то средние, вычисленные для каждой совокупности, должны существенно (значимо) различаться между собой. Если же расхождение незначительно, несущественно (случайно), то временной ряд не имеет тенденции. Таким образом, проверка наличия тренда в исследуемом ряду сводится к проверке гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей. Рассмотрим применение этого метода на следующем примере.


    Пример 3.4.2. Проверка наличия тренда.

    Определим наличие основной тенденции (тренда) по данным табл. 3.4.3 (рис. 3.4.2).

    Таблица 3.4.4. Урожайность ячменя в одной из областей Среднего Поволжья, ц / га

    Урожайность


    Рис. 3.4.2. График урожайности ячменя

    1. Делим исходный временной ряд на две примерно равные по числу уровней части: n 1=7, n 2 =8 (n 1+n 2=n =15).

    2. Для каждой из этих частей вычисляем средние значения:

    ,

    15,13; = 16,66.

    и дисперсии:

    ,

    42,15; = 41,22.

    3. Проверяем гипотезу о равенстве (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера. Для вычисления F-критерия большую дисперсию делят на меньшую:

    Fрасч = = 42,15 / 41,22= 1,022,

    Fкр = (0,05; 6,7) =3,86.

    Так как F расч < F кр (0,05; 6,7), то c вероятностью 95% нет оснований отвергать нулевую гипотезу. По данным наблюдения дисперсии генеральных совокупностей равны = , исправленные выборочные дисперсии (S и S ) различаются незначимо (расхождение между ними величина случайная).

    4. Тогда можно проверить основную гипотезу о равенстве средних значений с использованием t-критерия Стьюдента:

    , (3.4.7)

    подставляя числовые значения, получим:

    t кр (0,05; 13) = 2,16

    Так как |t расч |< t кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве средних, расхождение между вычисленными средними незначимо. Отсюда вывод: тренд урожайности ячменя отсутствует.

    Решение примера с помощью Пакета анализа Excel

    1. Гипотезу о равенстве дисперсий проверим с помощью F-теста, который можно найти среди инструментов Анализа данных (рис. 3.4.3).

    Рис. 3.4.3. Вызов надстройки Excel Анализ данных

    2. Вводим данные для выполнения F-теста, указывая интервал для первой и второй переменных (рис. 3.4.4). Результат выполнения теста приведен в табл. 3.4.4. Анализируя результаты выполнения двухвыборочного F-теста для проверки гипотезы о равенстве дисперсий, приходим к выводу, что исправленные выборочные дисперсии (S и S ) различаются незначимо.

    Рис. 3.4.4. Ввод данных для двухвыборочного F-теста

    Таблица 3.4.4. Результат выполнения двухвыборочного F-теста для дисперсии

    Переменная 1

    Переменная 2

    Дисперсия

    Наблюдения

    df - число степеней свободы

    P (F <=f ) одностороннее

    F критическое одностороннее

    3. Выбираем инструмент анализа Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями (рис. 3.4.5). Вводим данные. Результат выполнения t-теста приведен в табл. 3.4.5., анализируя который убеждаемся, что тренда нет.


    Рис. 3.4.5. Ввод данных для двухвыборочного t-теста с одинаковыми дисперсиями

    Таблица 3.4.5. Результат выполнения t-теста.

    Двухвыборочный t-тест с
    одинаковыми дисперсиями

    Переменная 1

    Переменная 2

    Дисперсия

    Наблюдения

    Объединенная дисперсия

    Гипотетическая разность средних

    df - число степеней свободы

    t-статистика

    P (T ≤t ) одностороннее

    t критическое одностороннее

    P (T ≤t ) двухстороннее

    t критическое двухстороннее

    Наличие тенденции среднего уровня на графике становится более заметным, когда на нем отражены сглаженные значения исходных данных.