Сложение и вычитание вместо умножения. Сложение и вычитание вместо умножения X целая часть

Издательство «Школьник»

Волгоград, 2003 год
А.П.Доморяд

ББК 22.1я2я72

Доморяд Александр Петрович

Математические игры и развлечения

Избранное

Редактор Копылова А.Н.

Техн. раедактор Мурашова Н.Я.

Корректор Сечейко Л.О.

Сдано в набор 26.09.2003. Подписано к печати 14.12.2003. Формат 84х 108 ¼.Физ.печ.л. 8,375. Условн.печ.л. 13,74. Уч.-изд.л. 12,82. Тираж 200000 экз. Заказ №979. Цена книги 50 руб.

Доморяд А.П.

Математические игры и развлечения: Избранное.- Волгоград:ВГПУ,2003.-20 с.

В книге представлены избранные задачи из монографии Доморяда А.П. «Математические игры и развлечения»,которая была издана в 1961 году государственным издательством физико-математической литературы г. Москвой.

ISBN 5-09-001292-Х ББК22.1я2я72

© Издательство «ВГПУ»,2003

Предисловие 6

Определение задуманного числа по трем таблицам 7

Солитер 8

Сложение и вычитание вместо умножения 11

Функция [x] (целая часть x) 12

Фигуры из кусочков квадрата 14

Магические квадраты 16

Приложение 17

Предисловие

1. 
   Развлечения, связанные с поисками оригинальных решений задач, допускающих практически неисчерпаемое множество решений; обычно интересуются установлением числа решений, разработкой методов, дающих большие группы решений или решения, удовлетворяющие каким-нибудь специальным требованиям.
2. 
   Математические игры, т.е. игры, в которых двое играющих рядом "ходов", делаемых поочередно в соответствии с указанными правилами, стремятся к определенной цели, причем оказывается возможным для любого исходного положения предопределить победителя и указать, как - при любых ходах противника - он может добиться победы.
3. 
   "Игры одного лица", т.е. развлечения, в которых с помощью ряда операций, выполняемых одним игроком в соответствии с данными правилами, надо достигнуть определенной, заранее указанной цели ; здесь интересуются условиями, при которых цель может быть достигнута, и ищут наименьшее число ходов, необходимых для ее достижения.

Каждый может попытаться, проявив настойчивость и изобретательность, получить интересные (свои!) результаты.

Если такие классические развлечения, как, например, составление "магических квадратов" могут оказаться по душе сравнительно узкому кругу лиц, то составление, например, симметричных фигур из деталей разрезанного квадрата, поиски числовых курьезов и т.п., не требуя никакой математической подготовки, могут доставить удовольствие и любителям, и "не любителям" математики. То же можно сказать и о развлечениях, требующих подготовки в объеме 9-11 классов средней школы.

Многие развлечения и даже отдельные задачи могут подсказать любителям математики темы для самостоятельного исследования.

В целом книга рассчитана на читателей с математической подготовкой в объеме 10-11 классов, хотя большая часть материала доступна девятиклассникам, а некоторые вопросы - даже учащимся 5-8классов.

Многие параграфы могут быть использованы преподавателями математики для организации внеклассной работы.

1. 
   Разные категории читателей могут по-разному использовать эту книгу: лица, не увлекающиеся математикой , могут познакомиться с любопытными свойствами чисел, фигур и т.п., не вникая в обоснование игр и развлечений, принимая на веру отдельные утверждения; любителям математики советуем изучать отдельные места книги с карандашом и бумагой, решая предлагаемые задачи и отвечая на отдельные вопросы, предложенные для размышления.

Определение задуманного числа по трем таблицам

40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60),т.е. N=6.

Аналогичный вопрос может быть решен для чисел в пределах до 420, размещенных в четырех таблицах с тремя, четырьмя, пятью и семью столбцами: если - номера столбцов, в которых задуманное число, то оно равно остатку от деления числа 280α+105β+336γ+120δ на 420.

Солитер

На рис. 4 приведены симметричные фигуры 1 . Попробуйте сложить эти фигуры из частей квадрата, изображенного на рис. 3, (а).

(а) (b)
Рис.3

Рис. 4
Из этих же чертежей можно складывать и многие другие фигуры (например, изображения различных предметов, животных и т.п.).

Менее распространенным вариантом игры является составление фигур из кусочков квадрата, изображенного на рис. 3, (b).

Магические квадраты

Если одинаковы лишь суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном и вертикальном ряду, то квадрат называется полумагическим.

Кстати, два нижних средних числа этого квадрата образуют число 1514-дату создания картины.
Существует лишь восемь девятиклеточных магических квадратов. Два из них, являющиеся зеркальным изображением друг друга, приведены на рисунке; остальные шесть могут быть получены из этих квадратов вращение их вокруг центра на 90°, 180°, 270°

2. Нетрудно полностью исследовать вопрос о магических квадратов при n=3

Действительно,S 3 = 15 , и существует лишь восемь способов представления числа 15 в виде суммы различных чисел (от единицы до девяти):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Заметим, что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в две, а каждое из чисел 2, 4, 6, 8 – в три указанные суммы и лишь число 5 входит в четыре суммы. С другой стороны, из восьми трехклеточных рядов: трех горизонтальных, трех вертикальных и двух диагональных – через каждую из угловых клеток квадрата проходит по три , через центральную клетку по четыре и через каждую из остальных клеток по два ряда. Следовательно, число 5 должно обязательно стоять в центральной клетке, числа 2, 4, 6, 8 – в угловых клетках, а числа 1, 3, 7, 9 – в остальных клетках квадрата. 15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6.

Заметим, что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в две, а каждое из чисел 2, 4, 6, 8- в три указанные суммы и лишь число 5 входит в четыре суммы. С другой стороны, из восьми трехклеточных рядов: трех горизонтальных, трех вертикальных и двух диагональных – через каждую из угловых клеток квадрата проходит по три, через центральную клетку по четыре и через каждую из остальных клеток по два ряда. Следовательно, число 5 должно обязательно стоять в центральной клетке, числа 2, 4, 6, 8 – в угловых клетках, а числа 1, 3, 7,9 – в остальных клетках квадрата.

Интереснейший набор задач

Прекрасное лицо царицы наук МАТЕМАТИКИ

1 Фигуры заимствованы из книги В.И. Обреимова «Тройная головоломка»

ЗАМЕЧАТЕЛЬНАЯ ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ (СПОСОБ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ЦЕЛОЙ ЧАСТЬЮ ЧИСЛА)

Ле Тхань Дат

класс 10 ф/м, ГБОУ ПО «Губернский лицей-интернат для одаренных детей», г. Пенза

Цепкова Наталья Михайловна

научный руководитель, учитель математики высшей категории ГБОУ ПО «Губернский лицей-интернат для одаренных детей», соискатель кафедры педагогики и психологии профессионального обучения ПГПУ им. В.Г. Белинского г. Пензы

В последнее время всё чаще на олимпиадах, математических конкурсах, а также во многих вариантах ЕГЭ по математике (С6) встречаются задачи, содержащие целую часть числа x.

В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других областях математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа. В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены отдельные вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9-го класса отведено всего 34 строки .

Введём понятие целой части действительного числа и рассмотрим некоторые её свойства.

Определение. Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x.

Свойства целой части:

1. [x]=x, если x€Z.

2. [x]≤x<[x]+1.

3. =[x]+m, если m€Z.

Просматривая и анализируя встречающиеся задания, содержащие целую часть числа, мы заметили их однообразие, приводящее к стандартному способу решения – замене какого-либо выражения переменной.

Например, ++=6.

Заменим x+2,6 = y, тогда

[y]++=6,

[y]+[y]+1+[y]+2=6,

Возврат к замене: y= x+2,6, тогда

1 x+2,6<2,

1,6 x<-0,6.

Ответ: [-1,6; -0,6).

Рассмотрим другое уравнение, взятое из Межрегиональной олимпиады школьников по математике на базе ведомственных образовательных учреждений 2011-2012 года , которое тоже решается с помощью замены:

Заменим =k.

. (2)

Подставим вместо х в выражении (2) выражение (1), тогда

K

40k-39 10k<40k+1,

1) 40k-39 10k, 2) 10k<40k+1,

K 1,3, k> .

Из 1) и 2) => k=0; k=1.

При k=0 x= ;

При k=1 x=0,8.

Ответ: ; 0,8.

Возникает вопрос: а возможно ли встретить уравнение, в котором метод указанных замен не приводит к нахождению результата, и как его решить?

Рассмотрим уравнение: +-=5.

Сложность данного уравнения заключается в неоднозначности числа x.

Пусть x=0,4, тогда =1; =1; =4, а при x=0,8 =1; =2; =5.

Чтобы учесть неоднозначность неизвестного в уравнении с целыми частями, нам надо найти точки, при которых каждое слагаемое изменяет значение целой части на 1. Назовём их критическими точками и рассмотрим конкретный пример.

X=t+a, t - целая часть числа, a - дробная часть числа.

T+t-t+4-3-3++-=5,

T++-=7,

А=0,7; а=0,4; а=0,5 – критические точки.

1) a€=a € N,

0≤t<1,

(2с-3) 2 =3a 2 -12c+46,

4c 2 -12c+9-3a 2 +12c-46=0,

4c 2 -37-3a 2 =0,

4c 2 -37-3[c] 2 =0,

4(a+t) 2 -37-3a 2 =0,

(a+t) 2 = ,

T=- -a - не подходит по условию задачи,

Функция [x ] равна наибольшему целому числу, превосходящемуx (x – любое действительное число). Например:

Функция [x ] имеет «точки разрыва»: при целых значениях x она «изменяется скачком».

На рис.2 дан график этой функции, причем левый конец каждого из горизонтальных отрезков принадлежит графику (жирные точки), а правый – не принадлежит.

Попробуйте доказать, что если каноническое разложение числа n ! есть , то

Аналогичные формулы имеют место для

Зная это, легко определить, например, сколькими нулями оканчивается число 100! Действительно, пусть . Тогда

и .

Следовательно, 100! Делится на , т.е. оканчивается двадцатью четырьмя нулями.

Фигуры из кусочков квадрата

К числу полезных и увлекательных развлечений относится составление фигур из семи кусочков квадрата, разрезанного в соответствии с рис.3, (а), причем при составлении заданных фигур должны быть использованы все семь кусочков, и они должны налегать, даже частично, друг на друга.

На рис. 4 приведены симметричные фигуры 1 . Попробуйте сложить эти фигуры из частей квадрата, изображенного на рис. 3, (а).

Из этих же чертежей можно складывать и многие другие фигуры (например, изображения различных предметов, животных и т.п.).

Менее распространенным вариантом игры является составление фигур из кусочков квадрата, изображенного на рис. 3, (b).

Магические квадраты

Магические квадрат « n 2 -квадратом» назовем квадрат, разделенный на n 2 клеток, заполненных первыми n 2 натуральными числами так, что суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном или вертикальном ряду, а также на любой из диагоналей квадрата, равны одному и тому же числу

Если одинаковы лишь суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном и вертикальном ряду, то квадрат называется полумагическим.

Магический 4 2 –квадрат назван именем Дюрера, математика и художника XVIвека, изображавшего квадрат на известной картине «Меланхолия».

Кстати, два нижних средних числа этого квадрата образуют число 1514-дату создания картины.

Существует лишь восемь девятиклеточных магических квадратов. Два из них, являющиеся зеркальным изображением друг друга, приведены на рисунке; остальные шесть могут быть получены из этих квадратов вращение их вокруг центра на 90°, 180°, 270°

2. Нетрудно полностью исследовать вопрос о магических квадратов при n=3

Действительно,S 3 = 15 , и существует лишь восемь способов представления числа 15 в виде суммы различных чисел (от единицы до девяти):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Заметим, что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в две, а каждое из чисел 2, 4, 6, 8 – в три указанные суммы и лишь число 5 входит в четыре суммы. С другой стороны, из восьми трехклеточных рядов: трех горизонтальных, трех вертикальных и двух диагональных – через каждую из угловых клеток квадрата проходит по три, через центральную клетку по четыре и через каждую из остальных клеток по два ряда. Следовательно, число 5 должно обязательно стоять в центральной клетке, числа 2, 4, 6, 8 – в угловых клетках, а числа 1, 3, 7, 9 – в остальных клетках квадрата.

Цели урока: познакомить учащихся с понятием целой и дробной части числа; сформулировать и доказать некоторые свойства целой части числа; познакомить учащихся с широким спектром применения целой и дробной части числа; совершенствовать умение решать уравнения и системы уравнений, содержащих целую и дробную части числа.

Оборудование: плакат “Кто смолоду делает и думает сам, тот и становится потом надёжнее, крепче, умнее” (В. Шукшин).
Проектор, магнитная доска, справочник по алгебре.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
4. Решение задач по теме.
5. Итоги урока.
6. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент: сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.

II. Проверка домашнего задания.

Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию. Решить задачи, вызвавшие затруднения при выполнении домашней работы.

III. Изучение нового материала.

Во многих задачах алгебры приходится рассматривать наибольшее целое число, не превосходящее данного числа. Такое целое число получило специальное название “целая часть числа”.

1. Определение.

Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозначается символом [x] или Е(х) (от французского Entier “антье” ─ “целый”). Например, = 5, [π ] = 3,

Из определения следует, что [x] ≤ х, так как целая часть не превосходит х.

С другой стороны, т.к. [x] – наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, то [x] +1>х. Таким образом, [x] есть целое число, определяющееся неравенствами [x] ≤ х< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.

Число α = υ ─ [x] называют дробной частью числа х и обозначают {х}. Тогда имеем: 0 ≤ {х}<1 и следовательно, х = [x] + {х}.

2. Некоторые свойства антье.

1. Если Z – целое число, то = [x] + Z.

2. Для любых действительных чисел х и у: ≥ [x] + [у].

Доказательство: так как х = [x] + {х}, 0 ≤ {х}<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.

Если 0 ≤ α <1. ς о = [x] + [у].

Если 1≤ α <2, т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и

= [x] + [у]+1>[x] + [у].

Это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых:

≥ + + + … + .

Умение находить целую часть величины очень важно в приближенных вычислениях. В самом деле, если мы умеем находить целую часть величины х, то, приняв [x] или [x]+1 за приближенное значение величины х, мы сделаем погрешность, величина которой не больше единицы, так как

≤ х – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.

Более того, значение целой части величины позволяет найти ее значение с точностью до 0,5. За такое значение можно взять [x] + 0,5.

Умение находить целую часть числа позволяет определить это число с любой степенью точности. Действительно, так как

≤ Nx ≤ +1, то

При большем N ошибка будет мала.

IV. Решение задач.

(Они получаются при извлечении корней с точностью до 0,1 с недостатком и избытком). Сложив эти неравенства, получим

1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.

Т.е. 3,1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.

Заметим, что число 3,25 отличается от х не более чем на 0,15.

Задача 2. Найти наименьшее натуральное число m, для которого

Проверка показывает, что при k = 1 и при k = 2 полученное неравенство, не выполняется ни для какого натурального m, а при к = 3 имеет решение m = 1.

Значит, искомое число равно 11.

Ответ: 11.

Антье в уравнениях.

Решение уравнений с переменной под знаком “целой части” обычно сводится к решению неравенств или систем неравенств.

Задача 3. Решить уравнение:

Задача 4. Решить уравнение

По определению целой части полученное уравнение равносильно двойному неравенству

Задача 5. Решить уравнение

Решение: если два числа имеют одинаковую целую часть, то их разность по абсолютной величине меньше 1, и поэтому из данного уравнения следует неравенство

И поэтому, во-первых, x ≥ 0 , а во-вторых, в сумме, стоящей в середине полученного двойного неравенства, все слагаемые, начиная с третьего, равны 0, так что x < 7 .

Поскольку х – целое число, то остается проверить значения от 0 до 6. Решениями уравнения оказываются числа 0,4 и 5.

в) выставление отметок.

VI. Домашнее задание.

Дополнительная задача (по желанию).

Некто измерил длину и ширину прямоугольника. Он умножил целую часть длины на целую часть ширины и получил 48; умножил целую часть длины на дробную часть ширины и получил 3,2; умножил дробную часть длины на целую часть ширины и получил 1,5. Определите площадь прямоугольника.

Математические игры и развлечения

Избранное

Редактор Копылова А.Н.

Техн. Редактор Мурашова Н.Я.

Корректор Сечейко Л.О.

Сдано в набор 26.09.2003. Подписано к печати 14.12.2003. Формат 34×103¼. Физ. печ. л. 8,375. Услов. печ. л. 13,74. Уч. изд. л. 12,88. Тираж 200 000 экз. Заказ № 279. Цена книги 50 руб.

Доморяд А.П.

Математические игры и развлечения. Избранное. – Волгоград: ВГПУ, 2003, - 20 с.

В книге представлены избранные задачи из монографии Доморяда А.П. «Математические игры и развлечения», которая была издана в 1961 году Государственным издательством физико-математической литературы г. Москвы.

ISBN 5-09-001292-X ББК 22.1я2я72

©Издательство «ВГПУ», 2003

Определение задуманного числа по трем таблицам

Размастив в каждой из трех таблиц подряд числа от 1 до 60 так, чтобы в первой таблице они стояли в трех столбцах по двадцати чисел в каждом, во второй – вчетырех столбцах по 15 чисел в каждом и в третьей – в пяти столбцах по 12 чисел в каждом (см.рис.1), легко быстро определить задуманное кем-нибкдь число N (N≤), если будут указаны номера α, β, γ столбцов, содержащие задуманное число в 1-й, во 2-й и в 3-й таблицах: N будет равно остатку от деления чила 40α+45β+36γ на 60 или, суммой(40α+45β+36γ)по модулю 60.Например, при α=3, β=2, γ=1:

40α+45β+36γ=0+30+36=6(mod60), т.е.N=6

Рис.1

Аналогичный вопрос может быть для чисел в пределах до 420, размещенных в четырех таблицах с тремя, четырьмя,пятью и семью столбцами:если α, β, γ- номера стоблцов, в которых стоит задуманное число, то оно равно остатку от деления числа 280α+105β+336+120δ на 420.

Солитер

Игра под названием солитер проводится на доске с традцатью тремя клетками.

Такую доску легко получить прикрыв шахматную доску листом картона с крестообразным вырезом.

На рисунке каждая клетка обозначена парой чисел, указывающих номера горизонтального и вертикального рядов, на пересечении которых находится клетка. В начале игры все клетки, за исключением какой-нибудь одной, заняты шашками.

Требуется снять 31 шашку, причем задаются пустая “начальная“ клетка (a,b ) и “конечная” (c,d ), на которой должна уцелевшая в конце игры шашка. Правила игры та-

ковы: любая шашка может быть снята с доски, если рядом с ней (в горизонтальном или вертикальном направелнии) находится с одной стороны какая-нибудь шашка (”снимающая”), а с противопложный стороны – пустая клетка, на которую ”снимаю-щая” шашка дожлна быть при этом переведена.

Из теории игры следует, что решение будет в том и только в том случаи,когда а с(mod3) и b d(mod3).

Приведем для примера задачи, в которой клетка(44) является и начальной, и конечной.

1. 64-44
2. 56-54
3. 44-64
4. 52-54
5. 73-53
6. 75-73
7. 43-63
8. 73-53
9. 54-52
10. 35-55
11. 65-45
12. 15-35
13. 45-25
14. 37-35
15. 57-37
16. 34-36
17. 37-35
18. 25-45
19. 46-44
20. 23-43

1. 31-33
2. 43-23
3. 51-31
4. 52-32
5. 31-33
6. 14-34
7. 34-32
8. 13-33
9. 32-34
10. 34-54
11. 64-44

Здесь в записи каждого хода указаны для ”снимающей” шашки номера исходной

Клетки и номер клетки, на которую она ставится (при этом с доски снимается шашка,

стоящая на промежуточной клетке)

Попробуйте снять 31 шашку:

a) Приначальной клетке(5,7) и конечной (2,4);

b) Приначальной клетке(5,5) и конечной (5,2).

Сложение и вычитание вместо умножения

До изобретения таблиц логорифмов для облегчения умножения многозначных чисел применялись так называемыепростаферические таблицы (от греческих слов «афайрезис» – отнятие),представляющие собой таблицы значений функции

При натуральных значениях Z . Так как при а и b целых (числа a+b и a-b либо оба честные, либо оба нечетные; в последнем случае дробные части у и одинаковые), то умножение а на b сводятся определение a+b и a-b и, наконец разности чисел ,взятых таблиц.

Для перемножение трех чисел можно восполдьзоваться тождеством

из которого следует, что при наличии таблицы значения функции вычесление произведения abc можно свести к определению чисел a+b+c, a+b-c, a+c-b, b+c-a и помним – при помощи таблицы – правой части равенства (*).

Приведем в качестве примера такую таблицу для .

В таблице даны: крупными цифрами – значения а мелкими – значение k , где при

Нетрудно, пользуясь формулой (*) и таблицей, получить:

9·9·9=820 3 – 30 9 – 30 9 – 30 9 =297,

17·8·4 = 1016 5 –385 21 – 91 13 + 5 5 = 544(Проверте!!)

Функция [x] (целая часть x)

Функция [x] равна наибольшему целому числу, не превосходящему x (x – любое действительное число).Например:

На рис.2 дан график этой функции, причём левый конец каждого из горизонтальных отрезков принадлежит графику (жирные точки), а правый – не принадлежит.

из диагоналей квадрата, равны одному и тому же числу

Если одинаковы лишь суммы числ, стоящих в любом горизонтальном и вертикальному то квадрат называется полумагическим.

Магический 4-квадрат назван именем Дюрера, математика и художника XVI вака,изобразившего квадрат на известной картине «Меланхолия».

Кстати,два нижних средних чисел этого квадрата образуют число 1514 - дату создания картины.

Существует восемь девятиклеточных магических квадратов.Два из них,являющиеся зеркальным изображением друг друга,приведены на рисунке; остальные шесть могут быть получены из этих квадратов вращением их вокруг центра на 90 ,180 ,270 .