Квадратичный график. Как найти максимум или минимум квадратичной функции

Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: или через координаты вершины параболы: f (x) = a (x − h) 2 + k {\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k} . Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.

Шаги

Квадратичная функция записана в стандартном виде

    Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция - это функция, уравнение которой включает переменную x 2 {\displaystyle x^{2}} . Уравнение может включать или не включать переменную x {\displaystyle x} . Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.

    График квадратичной функции представляет собой параболу. Ветви параболы направлены вверх или вниз. Если коэффициент a {\displaystyle a} при переменной x 2 {\displaystyle x^{2}} a {\displaystyle a}

    Вычислите -b/2a. Значение − b 2 a {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}} – это координата x {\displaystyle x} вершины параболы. Если квадратичная функция записывается в стандартном виде a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} , воспользуйтесь коэффициентами при x {\displaystyle x} и x 2 {\displaystyle x^{2}} следующим образом:

    • В функции коэффициенты a = 1 {\displaystyle a=1} и b = 10 {\displaystyle b=10}
    • В качестве второго примера рассмотрим функцию . Здесь a = − 3 {\displaystyle a=-3} и b = 6 {\displaystyle b=6} . Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:

  1. Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.

    • В первом примере f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} вы вычислили, что координата «х» вершины параболы равна x = − 5 {\displaystyle x=-5} . В исходной функции вместо x {\displaystyle x} подставьте − 5 {\displaystyle -5}
    • Во втором примере f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} вы нашли, что координата «х» вершины параболы равна x = 1 {\displaystyle x=1} . В исходной функции вместо x {\displaystyle x} подставьте 1 {\displaystyle 1} , чтобы найти ее максимальное значение:

  2. Запишите ответ. Перечитайте условие задачи. Если нужно найти координаты вершины параболы, в ответе запишите оба значения x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} (или f (x) {\displaystyle f(x)} ). Если необходимо вычислить максимум или минимум функции, в ответе запишите только значение y {\displaystyle y} (или f (x) {\displaystyle f(x)} ). Еще раз посмотрите на знак коэффициента a {\displaystyle a} , чтобы проверить, что вы вычислили: максимум или минимум.

    Квадратичная функция записана через координаты вершины параболы

    1. Запишите квадратичную функцию через координаты вершины параболы. Такое уравнение имеет следующий вид:

      Определите направление параболы. Для этого посмотрите на знак коэффициента a {\displaystyle a} . Если коэффициент a {\displaystyle a} положительный, парабола направлена вверх. Если коэффициент a {\displaystyle a} отрицательный, парабола направлена вниз. Например:

      Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента k {\displaystyle k} . В приведенных выше примерах:

      Найдите координаты вершины параболы. Если в задаче требуется найти вершину параболы, ее координаты равны (h , k) {\displaystyle (h,k)} . Обратите внимание, когда квадратичная функция записана через координаты вершины параболы, в скобки должна быть заключена операция вычитания (x − h) {\displaystyle (x-h)} , поэтому значение h {\displaystyle h} берется с противоположным знаком.

    Как вычислить минимум или максимум с помощью математических операций

      Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: f (x) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} . Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.

      Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна f ′ (x) = 2 a x + b {\displaystyle f^{\prime }(x)=2ax+b} .

      Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере:

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Квадратичная функция

Функция f(x)=ax2+bx2+c , где a, b, c - некоторые действительные числа (a 0), называется квадратичной функцией . График квадратичной функции называется параболой .

Квадратичная функция может быть приведена к виду

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a , (1)

выражение b2-4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Представление квадратной функции в виде (1) называется выделением полного квадрата .

Свойства квадратичной функции и ее график

Область определения квадратичной функции - вся числовая прямая.

При b 0 функция не является четной и не является нечетной. При b =0 квадратичная функция - четная.

Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.

Функция имеет единственную критическую точку

x=-b/(2a) . Если a >0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.

Если а <0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.

Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2-4ac)/4a) называется вершиной параболы .

Область изменения функции: при a >0 - множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +) ; при a <0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)] .

График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c . В случае, если b2-4ac>0 , график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a) ; если b2-4ac<0 , пересечения с осью 0x нет.

Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) - образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0) .

График функции

f(x)=ax2+bx+c

  • (или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями :
    • а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0) ;
    • б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;
    • в) параллельным переносом

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))) .

Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида f(x)=ax , где а - некоторое положительное действительное число, называемое основанием степени. При а=1 значение показательной функции при любом значении аргумента равно единице, и случай а =1 далее не будет рассматриваться.

Свойства показательной функции.

Область определения функции - вся числовая прямая.

Область значения функции - множество всех положительных чисел.

Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(a x) =a xlna

При а >1 функция монотонно возрастает, при а <1 монотонно убывает.

Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.

График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y =1.

График показательной функции - кривая, направленная вогнутостью вверх.

График показательной функции при значении а =2 изображен на рис. 5

Логарифмическая функция

Функцию, обратную показательной функции y=a x, называют логарифмической и обозначают

y=loga x.

Число а называется основанием логарифмической функции. Логарифмическую функцию с основанием 10 обозначают

а логарифмическую функцию с основанием е обозначают

Свойства логарифмической функции

Область определения логарифмической функции - промежуток (0; +).

Область значения логарифмической функции - вся числовая прчмая.

Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

(loga x) = 1/(x ln a).

Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а >1. При 0<a <1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает. При любом основании a >0, a 1, имеют место равенства

loga 1 = 0, loga a =1.

При а >1 график логарифмической функции - кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a <1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

График логарифмической функции при а =2 изображен на рис. 6.

Основное логарифмическое тождество

Обратной функцией для показательной функции y=a x будет логарифмическая функция x =loga y. По свойствам взаимно обратных функций f и f-I для всех x из области определения функции f-I(х). В частности, для показательной и логарифмической функции равенство (1) принимает вид

a loga y=y.

Равенство (2) часто называют основным логарифмическим тождеством . При любых положительных х, у для логарифмической функции верны следующие равенства, которые могут быть получены как следствия основного логарифмического тождества (2) и свойства показательной функции:

loga (xy)=loga x+loga y;

loga (x/y)= loga x-loga y;

loga (x)= loga x (- любое действительное число);

logaa=1;

loga x =(logb x/ logb a) (b - действительное число, b>0, b 1).

В частности из последней формулы при а=е , b=10 получается равенство

ln x = (1/(ln e ))lg x. (3)

Число lg e называют модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным и обозначают буквой М, а формулу (3) обычно записывают в виде

lg x =M ln x.

Обратно пропорциональная зависимость

Переменную y называют обратно пропорциональной переменной x , если значения этих переменных связаны равенством y = k/x , где k - некоторое действительное число, отличное от нуля. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y = k/x

Область определения функции - множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

Область значения функции - множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

Функция f(x) = k/x - нечетная, и ее график симметричен относительно начала координат. Функция f(x) = k/x непрерывна и дифференцируема во всей области определения. f(x) = -k/x2. Функция критических точек не имеет.

Функция f(x) = k/x при k>0 монотонно убывает в (-, 0) и (0, +), а при k<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

График функции f(x) = k/x при k>0 в промежутке (0, +) направлен вогнутостью вверх, а в промежутке (-, 0) - вогнутостью вниз. При k<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

График функции f(x) = k/x для значения k =1 изображен на рис. 7.

тригонометрические функции

Функции sin , cos , tg , ctg называются тригонометрическими функциями угла. Кроме основных тригонометрических функций sin , cos , tg , ctg существуют еще две тригонометрические функции угла - секанс и косеканс , обозначаемые sec и cosec соответственно.

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.

Свойства функции sin х.

Функция sin х - нечетная: sin (-х)=- sin х.

Функция sin х - периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

sin (х+2)= sin х.

Нули функции: sin х=0 при x=n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

sin х>0 при x (2n ; +2n ), n Z,

sin х<0 при x (+2n ; 2+2n ), n Z.

Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х) =cos x.

Функция sin х возрастает при x ((-/2)+2n; (/2)+2n ), n Z, и убывает при x ((/2)+2n ; ((3)/2)+ 2n ), n Z.

Функция sin х имеет минимальные значения, равные -1, при х=(-/2)+2n , n Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(/2)+2n , n Z.

График функции y=sin х изображен на рис. 8. График функции sin х называют синусоидой .

Свойства функции cos х

Область определения - множество всех действительных чисел.

Область значения - промежуток [-1; 1].

Функция cos х - четная: cos (-х)=cos х.

Функция cos х - периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

cos (х+2)= cos х.

Нули функции: cos х=0 при x=(/2)+2n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

cos х>0 при x ((-/2)+2n; (/2)+2n )), n Z,

cos х<0 при x ((/2)+2n ); ((3)/2)+ 2n )), n Z.

Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:

(cos х) =-sin x.

Функция cos х возрастает при x (-+2n; 2n ), n Z,

и убывает при x (2n ; + 2n ), n Z.

Функция cos х имеет минимальные значения, равные -1, при х=+2n , n Z, и максимальные значения, равные 1, при х=2n , n Z.

График функции y=cos х изображен на рис. 9.


Свойства функции tg х

Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме числа х=/2+n , n Z.

Функция tg х - нечетная: tg (-х)=- tg х.

Функция tg х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен:

tg (х+)= tg х.

Нули функции: tg х=0 при x=n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

tg х>0 при x (n ; (/2)+n ), n Z,

tg х<0 при x ((-/2)+n ; n ), n Z.

Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(tg х) =1/cos2 x.

Функция tg х возрастает в каждом из промежутков

((-/2)+n; (/2)+n), n Z,

График функции y=tg х изображен на рис. 10. График функции tg х называют тангенсоидой .

Свойства функции сtg х.

n , n Z.

Область значения - множество всех действительных чисел.

Функция сtg х - нечетная: сtg (-х)=- сtg х.

Функция сtg х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен:

сtg (х+)= ctg х.

Нули функции: ctg х=0 при x=(/2)+n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

ctg х>0 при x (n ; (/2)+n ), n Z,

ctg х<0 при x ((/2)+n ; (n +1)), n Z.

Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(ctg х) =-(1/sin2 x).

Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (n; (n +1)), n Z.

График функции y=сtg х изображен на рис. 11.

Свойства функции sec х.

Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида

х=(/2)+n , n Z.

Область значения:

Функция sec х - четная: sec (-х)= sec х.

Функция sec х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен 2:

sec (х+2)= sec х.

Функция sec x ни при каком значении аргумента не обращается в нуль.

Промежутки знакопостоянства:

sec х>0 при x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

sec х<0 при x ((/2)+2n ; (3/2)+2n ), n Z.

Функция sec х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

(sec х) =sin x/cos2 x.

Функция sec х возрастает в промежутках

(2n; (/2)+ 2n ), ((/2)+ 2n ; + 2n ], n Z,

и убывает в промежутках

[+ 2n ; (3/2)+ 2n ), ((3/2)+ 2n ; 2(n +1)], n Z.

График функции y=sec х изображен на рис. 12.

Свойства функции cosec х

Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=n , n Z.

Область значения:

Функция cosec х - нечетная: cosec (-х)= -cosec х.

Функция cosec х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен 2:

cosec (х+2)= cosec х.

Функция cosec x ни при каком значении аргумента не обращается в нуль.

Промежутки знакопостоянства:

cosec х>0 при x (2n ; +2n ), n Z,

cosec х<0 при x (+2n ; 2(n +1)), n Z.

Функция cosec х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

(cosec х) =-(cos x/sin2 x).

Функция cosec х возрастает в промежутках

[(/2)+ 2n; + 2n ), (+ 2n ; (3/2)+ 2n ], n Z,

и убывает в промежутках

(2n ; (/2)+ 2n ], ((3/2)+ 2n ; 2+2n ), n Z.

График функции y=cosec х изображен на рис. 13.

Нахождение по графику промежутков возрастания и убывания квадратичной функции ху 0 11 Функция является убывающей на промежутке, если большему значению х соответствует меньшее значение у, т. е. при движении слева направо график идет вниз (просмотр по щелчку) Функция является возрастающей на промежутке, если большему значению х соответствует большее значение у, т. е. при движении слева направо график идет вверх (просмотр по щелчку)

8 у х0 11 Найти по графику и записать промежутки возрастания и убывания квадратичной функции Обратите внимание, что график квадратичной функции состоит из двух ветвей. Ветви соединяются между собой вершиной параболы. При записи промежутков возрастания и убывания самую главную роль будет играть абсцисса (х) вершины параболы Пример 1. Рассмотрим движение по каждой ветке параболы отдельно: по левой ветке при движении слева направо график идет вниз, значит функция убывает; по правой ветке — график идет вверх, значит функция возрастает. Ответ: промежуток убывания (- ∞; -1 ] ; промежуток возрастания [ -1; +∞)

8 у х0 11 Найти по графику и записать промежутки возрастания и убывания квадратичной функции Пример 2. Рассмотрим движение по каждой ветке параболы отдельно: по левой ветке при движении слева направо график идет вверх, значит функция возрастает; по правой ветке — график идет вниз, значит функция убывает. Ответ: промежуток возрастания (- ∞; 3 ] ; промежуток убывания [ 3; +∞).

Задания для самостоятельного решения (выполнять в тетради) Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Приложение

промежуток возрастания (- ∞; -1 ] ; промежуток убывания [ -1; +∞). сверить ответ. Найти по графику и записать промежутки возрастания и убывания квадратичной функции 88 у х0 1 11 просмотреть анимацию записать ответ самостоятельно

« промежуток убывания (- ∞; 3 ] ; промежуток возрастания [ 3; +∞). Найти по графику и записать промежутки возрастания и убывания квадратичной функции у х 11 0 8 2 просмотреть анимацию записать ответ самостоятельно сверить ответ

Найти по графику и записать промежутки возрастания и убывания квадратичной функции 8 у 0 1 1 х3 просмотреть анимацию записать ответ самостоятельно промежуток убывания (- ∞; 0 ] ; промежуток возрастания [ 0; +∞). сверить ответ

«Найти по графику и записать промежутки возрастания и убывания квадратичной функции 8 1 у 01 х4 просмотреть анимацию записать ответ самостоятельно промежуток возрастания (- ∞; — 0, 5 ] ; промежуток убывания [ — 0, 5; +∞). сверить ответ

Приложение Граничная точка промежутков возрастания и убывания является абсциссой вершины параболы Граничная точка промежутков возрастания и убывания всегда записывается в ответ с квадратной скобкой, т. к. квадратичная функция непрерывна

Функция вида y =a*x^2+b*x+c, где a,b,c - некоторые вещественные числа, причем а отлично от нуля, а x,y - переменные, называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции y =a*x^2+b*x+c является линия, называемая в математике параболой . Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Стоит отметить, что если у функции коэффициент а>0, то парабола направлена ветвями вверх, а если аГрафик квадратичной функции симметричен относительно оси симметрии. Осью симметрии параболы служит прямая проведенная через точку x=(-b)/(2*a), параллельно оси Оу.

Координатами вершины параболы определяются по следующим формулам:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

На рисунке ниже представлен график произвольной квадратичной функции. Построение графика квадратичной функции . Также на рисунке отмечены вершина параболы и ось симметрии.

В зависимости от значения коэффициента а, вершина параболы будет являться минимальным или максимальным значением квадратичной функции. При a>0, вершина является минимальным значение квадратичной функции, при этом максимального значения не существует. При аОсь симметрии проходит через вершину параболы. Областью определения квадратичной функции является все множество вещественных чисел R.

Квадратичную функцию y =a*x^2+b*x+c всегда можно преобразовать к виду y=a*(x+k)^2+p, где k=b/(2*a), p=(4*a*c-b^2)/(4*a). Для этого необходимо выделить полный квадрат.

Обратите внимание, что точка с координатами (-k;p) будет являться вершиной параболы. График квадратичной функции y=a*(x+k)^2+p можно получить из графика функции y=a*x^2 с помощью параллельного переноса.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: