Ряды комплексных чисел сходимость и расходимость. Л.21

Символ вида W 1 + W 2 +…+ W n +…= (1), где W n = u n + i · v n (n = 1, 2, …) комплексные числа (последовательности комплексный чисел) называются рядом комплексных чисел .

Числа W n (n = 1, 2, …) называются членами ряда , член W n называется общим членом ряда .

Числа вида S n = W 1 + W 2 +…+ W n (2) (n = 1, 2, …) , называются частичными суммами ряда (1).

Конечный или бесконечный предел S последовательности S n называется суммой этого ряда .

Если предел S конечен, то ряд называется сходящимся , если же предел бесконечен, или вовсе не существует, то ряд расходящийся .

Если S сумма ряда (1), то пишут
.

Пусть
, а
. Очевидно σ n = u 1 + u 2 +…+ u n , τ n = v 1 + v 2 +…+ v n . Как мы знаем равенство
(S конечно) эквивалентно двум равенствам
и
. Следовательно, сходимость ряда (1) эквивалентна сходимости двух вещественных рядов: и . Поэтому на сходящиеся комплексные ряды распространяются основные свойства сходящихся числовых рядов.

Например, для комплексных рядов справедлив критерий Коши: ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда для любого

, что при всех n > N и любом p = 1, 2, … выполняется неравенство .

Из этого критерия непосредственно следует необходимый признак сходимости ряда: для того, чтобы ряд (1) сходился необходимо и достаточно, чтобы его общий член W n → 0 .

Справедливы такие свойства сходящихся рядов: если ряды и сходятся к своим суммам S и d , то ряды
и
сходятся соответственно к суммам S ± d и λ· S .

Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел.

Ряд комплексных чисел (1) называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд
(2).

Теорема.

Всякий абсолютно сходящийся ряд (1) комплексных чисел сходится.

Доказательство.

Очевидно, нам достаточно установить, что для ряда (1) выполняются условия критерия Коши сходимости ряда. Возьмем любое
. В силу абсолютной сходимости ряда (1), ряд (2) сходится. Поэтому для выбранного

, что при любомn > N и р=1,2,… будет выполняется неравенство
, но

, а тем более будет выполняться неравенство
при любомn > N и p =1,2,… Следовательно для ряда (1) выполняются условия критерия Коши сходимости комплексного ряда. Поэтому ряд (1) сходится. Теорема справедлива.

Теорема.

Для того, чтобы ряд комплексных чисел (1) был абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились вещественные ряды (3) и (4) , где W n = u n + i · v n (n = 1, 2,…).

Доказательство,

опирается на следующие очевидные неравенства

(5)

Необходимость. Пусть ряд (1) абсолютно сходится, покажем, что ряд (3) и (4) абсолютно сходятся, т. е. сходятся ряды
и
(6). Из абсолютной сходимости ряда (1) следует, что ряд (2)
сходится, тогда в силу левой части неравенства (5) ряды (6) будут сходиться, т. е. ряды (3) и (4) абсолютно сходятся.

Достаточность. Пусть ряды (3) и (4) абсолютно сходятся, покажем, что ряд (1) тоже абсолютно сходится, т. е. что сходится ряд (2). Из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует, что ряды (6) сходятся, поэтому сходится и ряд
. Следовательно, в силу правой части неравенства (5) ряд (2) сходится, т.е. ряд (1) абсолютно сходится.

Итак, абсолютная сходимость комплексного ряда (1) эквивалентна абсолютной сходимости вещественных числовых рядов (3) и (4). Поэтому на абсолютно сходящиеся комплексные ряды распространяются все основные свойства вещественных абсолютно сходящихся числовых рядов. В частности для абсолютно сходящегося комплексного ряда справедлива теорема о перестановке его членов, т. е. перестановка членов в абсолютно сходящемся ряде не влияет на сумму ряда . Для установления абсолютной сходимости комплексного ряда может применяться любой признак сходимости положительного ряда.

Признак Коши.

Пусть для ряда (1) существует предел
, тогда если q < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если q >1, то ряд (1) расходится .

Признак Даламбера.

Если для ряда (1) комплексных чисел существует предел
, то при q < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если q > 1, то ряд расходится.

Пример.

Исследовать на абсолютную сходимость ряд
, здесь
.

Найдем
. Очевидно
=
=
. Следовательно, ряд абсолютно сходится.

Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать. Произведение абсолютно сходящегося на сходящийся ряд – сходится. Произведение двух сходящихся может расходиться.

Ряды с комплексными членами.

19.3.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.

19.3.1.1. Основные определения . Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел . Действительную часть числа будем обозначать , мнимую - (т.е. .

Числовой ряд - запись вида .

Частичные суммы ряда :

Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при , являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут или .

Найдём действительные и мнимые части частичных сумм: , где символами и обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями.

Пример.

19.3.1.2. Абсолютная сходимость.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.

Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, можно доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Ряд - ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки (от теорем сравнения до интегрального признака Коши).

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Составим ряд из модулей (): . Этот ряд сходится (признак Коши ), поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

19.1.3.4. Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами:

Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при .

Если сходится ряд , то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Если ряд сходится, то сумма его остатка после n -го члена стремится к нулю при .

Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с , то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с .

Сходящиеся ряды (А ) и (В ) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться, и его сумма равна .

Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.

Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.

Если ряды (А ) и (В ) сходятся абсолютно к своим сумма и , то их произведение при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна .

19.3.2. Степенные комплексные ряды.

Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида

где - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), - фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z , то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку . Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.

Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

1. он абсолютно сходится в любой точке круга ;

2. Если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке z , удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся дальше от точки , чем ).

Доказательство дословно повторяет доказательство раздела 18.2.4.2. Теорема Абеля для ряда с действительными членами.

Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R , что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке , и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости , круг - кругом сходимости . В точках границы этого круга - окружности радиуса R с центром в точке - ряд может и сходиться, и расходиться. В этих точках ряд из модулей имеет вид . Возможны такие случаи:

1. Ряд сходится. В этом случае в любой точке окружности ряд сходится абсолютно.

2. Ряд расходится, но его общий член . В этом случае в некоторых точках окружности ряд может сходиться условно, в других - расходиться, т.е. каждая точка требует индивидуального исследования.

3. Ряд расходится, и его общий член не стремится к нулю при . В этом случае ряд расходится в любой точке граничной окружности.

Определение: Числовым рядом комплексных чисел z 1, z 2, …, z n , … называется выражение вида

z 1 + z 2 + …, z n + … = , (3.1)

где z n называют общим членом ряда.

Определение: Число S n = z 1 + z 2 + …, z n называется частичной суммой ряда.

Определение: Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность {S n } его частичных сумм. Если же последовательность частичных сумм расходится, то и ряд называют расходящимся.

Если ряд сходится, то число S = называется суммой ряда (3.1).

z n = x n + iy n ,

то ряд (1) записывается в виде

= + .

Теорема: Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды и , составленные из действительных и мнимых частей членов ряда (3.1).

Эта теорема позволяет перенести признаки сходимости рядом с действительными членами на ряды с комплексными членами (необходимый признак, признак сравнения, признак Д’Аламбера, Коши и др.).

Определение. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов.

Теорема. Для абсолютной сходимости ряда (3.1) необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились ряды и .

Пример 3.1. Выяснить характер сходимости ряда

Решение.

Рассмотрим ряды

Покажем, что эти ряды сходятся абсолютно. Для этого докажем, что ряды

Сходятся.

Так как , то вместо ряда возьмём ряд . Если последний ряд сходится, то по признаку сравнения сходится и ряд .

Сходимость рядов и доказывается с помощью интегрального признака.

Это значит, что ряды и сходится абсолютно и, согласно последней теореме, исходный ряд сходится абсолютно.

4. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля о степенных рядах. Круг и радиус сходимости.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

где …, – комплексные числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости ряда (4.I) является круг .

Для отыскания радиуса сходимости R данного ряда, содержащего все степени , используют одну из формул:

Если ряд (4.1) содержит не все степени , то для отыскания нужно непосредственно использовать признак Д’Аламбера или Коши.

Пример 4.1. Найти круг сходимости рядов:

Решение:

а) Для отыскания радиуса сходимости этого ряда воспользуемся формулой

В нашем случае

Отсюда круг сходимости ряда задается неравенством

б) Для отыскания радиуса сходимости ряда используем признак Д’Аламбера.

Для вычисления предела дважды использовали правило Лопиталя.

По признаку Д’Аламбера ряд будет сходиться, если . Отсюда имеем круг сходимости ряда .

5. Показательная и тригонометрические функции комплексной переменной.

6. Теорема Эйлера. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

7. Теорема сложения. Периодичность показательной функции.

Показательная функция и тригонометрические функции и определяются как суммы соответствующих степенных степенных рядов, а именно:

Эти функции связаны формулами Эйлера:

называемые, соответственно, гиперболическим косинусом и синусом, связаны с тригонометрическим косинусом и синусом формулами

Функции , , , определяются как и в действительном анализе.

Для любых комплексных чисел и имеет место теорема сложения:

Всякое комплексное число может быть записано в показательной форме:

– его аргумент.

Пример 5.1. Найти

Решение.

Пример 5.2. Представьте число в показательной форме.

Решение.

Найдем модуль и аргумент этого числа:

Тогда получим

8. Предел, непрерывность и равномерная непрерывность функций комплексной переменной.

Пусть Е – некоторое множество точек комплексной плоскости.

Определение. Говорят, что на множестве Е задана функция f комплексной переменной z, если каждой точке z E по правилу f поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел w (в первом случае функция называется однозначной, во втором – многозначной). Обозначим w = f(z) . E – область определения функции.

Всякую функцию w = f(z) (z = x + iy) можно записать в виде

f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).

U(x, y) = R f(z) называют действительной частью функции, а V(x, y) = Im f(z) – мнимой частью функции f(z).

Определение. Пусть функция w = f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z 0 , исключая, может быть, саму точку z 0 . Число А называется пределом функции f(z) в точке z 0 , если для любого ε > 0 можно указать такое число δ > 0, что для всех z = z 0 и удовлетворяющих неравенству |z – z 0 | < δ , будет выполнятся неравенство | f(z) – A| < ε.

Записывают

Из определения следует, что z → z 0 произвольным образом.

Теорема. Для существования предела функции w = f(z) в точке z 0 = x 0 + iy 0 необходимо и достаточно существование пределов функции U(x, y) и V(x, y) в точке (x 0 , y 0).

Определение. Пусть функция w = f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z 0 , включая саму эту точку. Функция f(z) называется непрерывной в точке z 0 , если

Теорема. Для непрерывности функции в точке z 0 = x 0 + iy 0 необходимо и достаточно, чтобы были непрерывны функции U(x, y) и V(x, y) в точке (x 0 , y 0).

Из теорем следует, что простейшие свойства, относящиеся к пределу и непрерывности функций действительных переменных, переносятся на функции комплексной переменной.

Пример 7.1. Выделить действительную и мнимую части функции .

Решение.

В формулу, задающую функцию, подставим

К нулю по двум различным направлениям, функция U(x, y) имеет разные пределы. Это значит, что в точке z = 0 функция f(z) предела не имеет. Далее, функция f(z) определена в точках, где .

Пусть z 0 = x 0 +iy 0 , одна из таких точек.

Это значит, что в точках z = x +iy при y 0 функция непрерывна.

9. Последовательности и ряды функций комплексной переменной. Равномерная сходимость. Непрерывность степенного ряда.

Определение сходящейся последовательности и сходящегося ряда функций комплексной переменной равномерной сходимости, соответствующие теории о равной сходимости, непрерывности предела последовательности, суммы ряда формируются и доказываются точно так же, как и для последовательностей и рядов функций действительной переменной.

Приведём необходимые для дальнейшего факты, касающиеся функциональных рядов.

Пусть в области D определена последовательность однозначных функций комплексной переменной {fn (z)}. Тогда символ:

Называется функциональным рядом .

Если z0 принадлежит D фиксировано, то ряд (1) будет числовым.

Определение. Функциональный ряд(1) называется сходящимся в области D , если для любогоz принадлежащего D , соответствующий ему числовой ряд сходится.

Если ряд (1) сходится в областиD , то в этой области можно определить однозначную функцию f(z) , значение которой в каждой точке z принадлежащей D равно сумме соответствующего числового ряда. Эту функцию называют суммой ряда (1) в области D .

Определение. Если

для любогоz принадлежащего D, выполняется неравенство:

то ряд (1) называется равномерно сходящимся в области D .

21.2 Числовые ряды (ЧР):

Пусть z 1 , z 2 ,…, z n - последовательность комплексных чисел, где

Опр 1. Выражение видаz 1 +z 2 +…+z n +…=(1)называется ЧР в комплексной области, причем z 1 , z 2 ,…, z n – члены числового ряда, z n – общий член ряда.

Опр 2. Сумма n первых членов комплексного ЧР:

S n =z 1 +z 2 +…+z n называется n-ной частичной суммой этого ряда.

Опр 3. Если существует конечный предел при nпоследовательности частичных сумм S n числового ряда, то ряд называется сходящимся , приэтом само число S называется суммой ЧР. В противном случае ЧР называется расходящимся .

Исследование сходимости ЧР с комплексными членами сводится к исследованию рядов с действительными членами.

Необходимый признак сходимости:

сходится

Опр4. ЧР называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд из модулей членов исходного ЧР: |z 1 |+|z 2 |+…+| z n |+…=

Этот ряд называется модульным, где |z n |=

Теорема (об абсолютной сходимости ЧР): если модульный ряд , то сходится и ряд .

При исследовании сходимости рядов с комплексными членами применяют все известные достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов с действительными членами, а именно, признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

21.2 Степенные ряды (СР):

Опр5. СР в комплексной плоскости называется выражение вида:

c 0 +c 1 z+c 2 z 2 +…+c n z n =, (4) где

c n – коэффициенты СР (комплексные или действительные числа)

z=x+iy – комплексная переменная

x, y – действительные переменные

Также рассматривают СР вида:

c 0 +c 1 (z-z 0)+c 2 (z-z 0) 2 +…+c n (z-z 0) n +…=,

Который называется СР по степеням разности z-z 0 , где z 0 фиксированное комплексное число.

Опр 6. Множество значений z, при которых СР сходится называется областью сходимости СР.

Опр 7. Сходящийся в некоторой области СР называется абсолютно (условно) сходящимся , если сходится (расходится) соответствующий модульный ряд.

Теорема (Абеля): Если СР сходится при z=z 0 ¹0 (в точке z 0), то он сходится, и притом абсолютно для всех z, удовлетворяющих условию: |z|<|z 0 | . Если же СР расходится при z=z 0 ,то он расходится при всех z, удовлетворяющих условию |z|>|z 0 |.

Из теоремы следует, что существует такое число R, называемое радиусом сходимости СР , такое, что для всех z, для которых |z|R – СР расходится.

Областью сходимости СР является внутренность круга |z|

Если R=0, то СР сходится только в точке z=0.

Если R=¥, то областью сходимости СР является вся комплексная плоскость.

Областью сходимости СР является внутренность круга |z-z 0 |

Радиус сходимости СР определяется формулами:

21.3 Ряд Тейлора:

Пусть функция w=f(z) аналитична в круге z-z 0

f(z)= =C 0 +c 1 (z-z 0)+c 2 (z-z 0) 2 +…+c n (z-z 0) n +…(*)

коэффициенты которой вычисляются по формуле:

c n =, n=0,1,2,…

Такой СР (*) называется рядом Тейлора для функции w=f(z) по степеням z-z 0 или в окрестности точки z 0 . С учетом обобщенной интегральной формулы Коши коэффициенты ряда (*) Тейлора можно записать в виде:

C – окружность с центром в точке z 0 , полностью лежащая внутри круга |z-z 0 |

При z 0 =0 ряд (*) называется рядом Маклорена . По аналогии с разложениями в ряд Маклорена основных элементарных функций действительного переменного можно получить разложения некоторых элементарных ФКП:

Разложения 1-3 справедливы на всей комплексной плоскости.

4). (1+z) a = 1+

5). ln(1+z) = z-

Разложения 4-5 справедливы в области |z|<1.

Подставим в разложение для e z вместо z выражение iz:

(формула Эйлера )

21.4 Ряд Лорана:

Ряд с отрицательными степенями разности z-z 0:

c -1 (z-z 0) -1 +c -2 (z-z 0) -2 +…+c -n (z-z 0) -n +…=(**)

Подстановкой ряд (**) превращается в ряд по степеням переменной t: c -1 t+c -2 t 2 +…+c - n t n +… (***)

Если ряд (***) сходится в круге |t|r.

Образуем новый ряд как сумму рядов (*) и (**) изменяя n от -¥ до +¥.

…+c - n (z-z 0) - n +c -(n -1) (z-z 0) -(n -1) +…+c -2 (z-z 0) -2 +c -1 (z-z 0) -1 +c 0 +c 1 (z-z 0) 1 +c 2 (z-z 0) 2 +…

…+c n (z-z 0) n = (!)

Если ряд (*) сходится в области |z-z 0 |r, то областью сходимости ряда (!) будет общая часть этих двух областей сходимости, т.е. кольцо (r<|z-z 0 |кольцом сходимости ряда .

Пусть функция w=f(z) – аналитическая и однозначная в кольце (r<|z-z 0 |

коэффициенты которой определяются по формуле:

C n = (#), где

С – окружность с центром в точке z 0 , которая полностью лежит внутри кольца сходимости.

Ряд (!) называется рядом Лорана для функции w=f(z).

Ряд Лорана для функции w=f(z) состоит из 2-х частей:

Первая часть f 1 (z)= (!!) называется правильной частью ряда Лорана. Ряд (!!) сходится к функции f 1 (z) внутри круга |z-z 0 |

Вторая часть ряда Лорана f 2 (z)= (!!!) - главная часть ряда Лорана. Ряд (!!!) сходится к функции f 2 (z) вне круга |z-z 0 |>r.

Внутри кольца ряд Лорана сходится к функции f(z)=f 1 (z)+f 2 (z). В некоторых случаях или главная, или правильная часть ряда Лорана может или отсутствовать, или содержать конечное число членов.

На практике для разложения функции в ряд Лорана обычно не вычисляют коэффициенты С n (#), т.к. она приводит к громоздким вычислениям.

На практике поступают следующим образом:

1). Если f(z) – дробно-рациональная функция, то ее представляют в виде суммы простых дробей, при этом дробь вида , где a-const раскладывают в ряд геометрической прогрессии с помощью формулы:

1+q+q 2 +q 3 +…+=, |q|<1

Дробь вида раскладывают в ряд, который получается дифференцированием ряда геометрической прогрессии (n-1) раз.

2). Если f(z) – иррациональная или трансцендентная, то используют известные разложения в ряд Маклорена основных элементарных ФКП: e z , sinz, cosz, ln(1+z), (1+z) a .

3). Если f(z) – аналитическая в бесконечно удаленной точке z=¥, то подстановкой z=1/t задача сводится к разложению функции f(1/t) в ряд Тейлора в окрестности точки 0, при этом z-окрестностью точки z=¥ считается внешность круга с центром в точке z=0 и радиусом равным r (возможно r=0).

Л.1 ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ДЕКАТОВЫХ КООРД.

1.1 Основные понятия и определения

1.2 Геометрический и физический смысл ДВИ.

1.3 основные свойства ДВИ

1.4 Вычисление ДВИ в декартовых координатах

Л.2 ДВИ в ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ в ДВИ.

2.1 Замена переменных в ДВИ.

2.2 ДВИ в полярных координатах.

Л.3Геометрические и физические приложения ДВИ.

3.1 Геометрические приложения ДВИ.

3.2 Физические приложения двойных интегралов.

1.Масса. Вычисление массы плоской фигуры.

2.Вычисление статических моментов и координат центра тяжести(центра масс) пластины.

3. Вычисление моментов инерции пластины.

Л.4ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

4.1 ТРИ:основные понятия. Теорема существования.

4.2 Основные св-ва ТРИ

4.3 Вычисление ТРИ в декартовых координатах

Л.5 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КООРДИНАТАМ II РОДА – КРИ-II

5.1 Основные понятия и определения КРИ-II, теорема существования

5.2 Основные свойства КРИ-II

5.3 Вычисление КРИ – II для различных форм задания дуги АВ.

5.3.1 Параметрическое задание пути интегрирования

5.3.2. Явное задание кривой интегрирования

Л. 6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДВИ и КРИ. СВ-ВА КРИ II-го РОДА СВЯЗАННЫЕ с ФОРМОЙ ПУТИ ИНТЕГР.

6.2. Формула Грина.

6.2. Условия (критерии) равенства нулю контурного интеграла.

6.3. Условия независимости КРИ от формы пути интегрирования.

Л. 7Условия независимости КРИ 2-го рода от формы пути интегрирования (продолжение)

Л.8 Геометрическая и физические приложения КРИ 2-го рода

8.1 Вычесление S плоской фигуры

8.2 Вычисление работы переменой силы

Л.9 Поверхностные интегралы по площади поверхности (ПВИ-1)

9.1. Основные понятия, теорема существования.

9.2. Основные свойства ПВИ-1

9.3.Гладкие поверхности

9.4.Вычисление ПВИ-1 свидением к ДВИ.

Л.10. ПОВЕРХН. ИНТЕГРАЛЫ по КООРД.(ПВИ2)

10.1. Классификация гладких поверхностей.

10.2. ПВИ-2: определение, теорема существования.

10.3. Основные свойства ПВИ-2.

10.4. Вычисление ПВИ-2

Лекция № 11.СВЯЗЬ МЕЖДУ ПВИ, ТРИ и КРИ.

11.1.Формула Остроградского-Гаусса.

11.2 Формула Стокса.

11.3. Применение ПВИ к вычислению объёмов тел.

ЛК.12 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

12.1 Теор. Поля, осн. Понятия и определения.

12.2 Скалярное поле.

Л. 13 ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ (ВП) И ЕГО ХАР-КИ.

13.1 Векторные линии и векторные поверхности.

13.2 Поток вектора

13.3 Дивергенция поля. Формула Остр.-Гаусса.

13.4 Циркуляция поля

13.5 Ротор (вихрь) поля.

Л.14 СПЕЦ. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ИХ ХАР-КИ

14.1 Векторные дифференциальные операции 1 порядка

14.2 Векторные дифференциальные операции II – порядка

14.3 Соленоидальное векторное поле и его свойства

14.4 Потенциальное (безвихревое) ВП и его свойства

14.5 Гармоническое поле

Л.15 ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА(К/Ч).

15.1. К/ч определение, геометрическое изображение.

15.2 Геометрическое представление к/ч.

15.3 Операция над к/ч.

15.4 Понятие расширенной комплексной z-пл.

Л.16 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. Функция комплексного переменного (ФКП) и её приделы.

16.1. Последовательность комплексных чисел определение, критерий существования.

16.2 Арифметические свойства приделов комплексных чисел.

16.3 Функция комплексного переменного: определение, непрерывность.

Л.17 Основные элементарные ф-ции комплексного переменного (ФКП)

17.1. Однозначные элементарные ФКП.

17.1.1. Степенная ф.-ция: ω=Z n .

17.1.2. Показательная ф.-ция: ω=e z

17.1.3. Тригонометрические ф.-ции.

17.1.4. Гиперболические ф.-ции (shZ, chZ, thZ, cthZ)

17.2. Многозначные ФКП.

17.2.1. Логарифмическая ф.-ция

17.2.2. arcsin числа Z наз. число ω,

17.2.3.Обобщенная степенная показательная ф.-ция

Л.18Дифференцирование ФКП. Аналитич. ф-ия

18.1. Производная и дифференциал ФКП: основные понятия.

18.2. Критерий дифференцируемости ФКП.

18.3. Аналитическая функция

Л. 19 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФКП.

19.1 Интеграл от ФКП(ИФКП):опр., сведение КРИ, теор. существ.

19.2 О существов. ИФКП

19.3 Теор. Коши

Л.20. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном тображении.

20.1 Геометрический смысл модуля производной

20.2 Геометрический смысл аргумента производной

Л.21. Ряды в комплексной области.

21.2 Числовые ряды (ЧР)

21.2 Степенные ряды (СР):

21.3 Ряд Тейлора

РЯДЫ

Числовые ряды

Пусть задана последовательность комплексных чисел z n = х п + + it/ n , п= 1,2,... Числовым рядом называется выражение вида

Числа 21,2-2,... называются членами ряда. Отметим, что выражение (19.1), вообще говоря, нельзя рассматривать как сумму, поскольку невозможно выполнить сложение бесконечного числа слагаемых. Но если ограничиться конечным числом членов ряда (например, взять первые п членов), то получится обычная сумма, которую можно реально вычислить (каково бы ни было п). Сумма 5„ первых и членов ряда называется п-й частичной (частной) суммой ряда:

Ряд (19.1) называется сходящимся, если существует конечный предел п-х частичных сумм при п -? оо, т.е. существует

Число 5 называется суммой ряда. Если lirn S n не существует или

равен ос, то ряд (19.1) называется расходящимся.

Тот факт, что ряд (19.1) сходится и его сумма равна 5, записывается в виде

Эта запись не означает, что были сложены все члены ряда (это сделать невозможно). В то же время, сложив достаточно много членов ряда, можно получить частичные суммы, сколь угодно мало отклоняющиеся от S.

Следующая теорема устанавливает связь между сходимостью ряда с комплексными членами z n = х п + iy n и рядов с действительными членами х п и у и.

Теорема 19.1. Для сходимости ряда (19.1) необходимо и до-

статочно , чтобы сходились два ряда ? х п и ? с действительных П=1

ними йенами. При этом для равенства ? z n = (Т + ir необходимо

и достаточно, чтобы ? х п =

Доказательство. Введем обозначения для частичных сумм рядов:

Тогда S n = о п + ir n . Воспользуемся теперь теоремой 4.1 из §4: для того чтобы последовательность S n = + ir n имела предел S = = сг + ir, необходимо и достаточно, чтобы последовательности {и {т п } имели предел, причем liiri = о, lim т п = т. Отсюда и сле-

п-юс л->оо

дует нужное утверждение, поскольку существование пределов последовательностей {S„}, {(7 п } и {т п } равносильно сходимости рядов

ОС" ОС" ОС"

? Z n , ? Х п и? у п соответственно.

Л = 1 Л=1 П=1

С помощью теоремы 19.1 многие важные свойства и утверждения, справедливые для рядов с действительными членами, сразу переносятся на ряды с комплексными членами. Перечислим некоторые из этих свойств.

1°. Необходимый признак сходимости. Если ряд? z n сходится,

то lim z n = 0. (Обратное утверждение неверно: из того что lim z n =

л-юо я->оо

0, не следует, что ряд? z n сходится.)

2°. Пусть ряды? z n и? w n с комплексными членами сходятся

и их суммы равны S и о соответственно. Тогда ряд? (z n + w n) тоже

сходится и его сумма равна S + о.

3°. Пусть ряд ]? z n сходится и его сумма равна S. Тогда для

любого комплексного числа Л ряд? (Az n) тоже сходится и его сумма

4°. Если отбросить или добавить к сходящемуся ряду конечное число членов, то получится также сходящийся ряд.

5°. Критерий сходимости Коши. Для сходимости ряда? z n

необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е > 0 существовало такое число N (зависящее от е), что при всех п > N и при всех

р ^ 0 выполнено неравенство ^2 z k

Так же как и для рядов с действительными членами, вводится понятие абсолютной сходимости.

Ряд z n называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

71 - 1

составленный из модулей членов данного ряда %2 z n

Теорема 19.2. Если сходится ряд ^2 |*п|» то ряд ^2 z n также

сходится.

(Другими словами, если ряд сходится абсолютно, то он сходится.)

Доказательство. Поскольку критерий сходимости Коши применим к рядам с произвольными комплексными членами, то он

применим, в частности, и к рядам с действительными членами. Возь-

мем произвольное е > 0. Так как ряд JZ Iz„ | сходится, то в силу кри-

терпя Коши, примененного к этому ряду, найдется такое число N, что при всех п > N и при всех р ^ 0

В § 1 было показано, что z + w ^ |з| + |ш| для любых комплексных чисел z и w; это неравенство легко распространяется на любое конечное число слагаемых. Поэтому

Итак, для любого е > 0 найдется число N, такое что при всех п >

Итак, для любого е > 0 найдется число N, такое что при всех п >

> N и при всех р ^ 0 выполнено неравенство J2 z k

но критерию Коши, ряд Y2 z n сходится, что и требовалось доказать.

Из курса математического анализа известно (см., например, или )), что утверждение, обратное теореме 19.2, неверно даже для рядов с действительными членами. А именно: из сходимости ряда не следует его абсолютная сходимость.

Ряд J2 г п называется условно сходящимся , если этот ряд сходит-

ся, а ряд ^2 z n i составленный из модулей его членов, расходится.

Ряд z n является рядом с действительными неотрицательными

ми членами. Поэтому к этому ряду применимы признаки сходимости, известные из курса математического анализа. Напомним без доказательства некоторые из них.

Признаки сравнения. Пусть числа z u и w n начиная с некоторого номера N удовлетворяют неравенствам z n ^ |w n |, п = = N, N + 1,... Тогда:

1) если ряд ^2 |w n | сходится , то и ряд z n сходится:

2) если ряд ^2 Ы расходится , то и ряд ^2 1 ш «1 расходится.

Признак Даламбера. Пусть существует предел

Тогда:

если I 1, то ряд Y2 z n сходится абсолютно:

если I > 1, то ряд ^2 z n расходится.

При / = 1 “Р адикальн ы й” признак Коши. Пусть существует

предел lim /z n = /. Тогда:

если I 1, то ряд z n сходится абсолютно ;

если I > 1, то ряд 5Z z n расходится.

При I = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Пример 19.3. Исследовать сходимость рядов

Решен и е. а) По определению косинуса (см. (12.2))

Поэтому

00 1 (е п

Применим признак Даламбера к ряду Y1 о (о) :

Значит, ряд ^ - (-) расходится. (Расходимость этого ряда следует

п= 1 2 " 2 "

также из того, что его члены не ст!>емятся к нулю и, следовательно, необходимое условие сходимости не выполнено. Можно воспользоваться и тем, что члены ряда образуют геометрическую прогрессию

со знаменателем q = е/2 > 1.) По признаку сравнения ряд 51 0п

так же расход и тся.

б) Покажем, что величины cos(? -f п) ограничены одним и тем же числом. Действительно,

| cos (г 4- п) = | cos i cos n - sin i sin 7i| ^

^ | cosi || cos 7?| 4-1 sinг|| sin 7?.| ^ | cosi| 4-1 sin i| = А/, где M - положительная постоянная. Отсюда

Ряд 5Z сх °дится. Значит, по признаку сравнения, ряд

cos (i 4" ii)

также сходится. Следовательно, исходный ряд 51 -~^т 1 -~ сходится

ft -1 2 ”

абсолютно.

Ряд 5Z z ki полученный из ряда 51 z k отбрасыванием первых п

к=п+1 к =1

членов, называется остатком (п-м остатком) ряда 51 z k- В случае

сходимости так же называется и сумма

Легко видеть, что 5 = 5„ + г„, где 5 - сумма, a S n - частичная сумма

ряда ^ Zf{- Отсюда сразу следует, что если ряд сходится , то его

п-й остаток стремится к пулю при п -> оо. Действительно, пусть

ряд У2 z k сходится, т.е. lirn 5„ = 5. Тогда lim г п = lim (5 - 5„) =

ft-I П ->00 П->00 «->00