Примеры открытых множеств. Открытые и замкнутые множества

Типы множеств вещественной прямой

Положение точки относительно множества A

Односторонние окрестности

Топология вещественной прямой

Числовые множества

Основные множества чисел это отрезок и интервал (a; b).

Числовое множество A называется ограниченным сверху , если существует такое число M, что a £ M для любого a Î A. Число M в этом случае называется верхней гранью или мажорантой множества.

Супремумом множества A, sup A называется …

… наименьшая из его мажорант;

… число M такое, что a £ M для любого a Î A и в любой окрестности M есть элемент множества A;

Аналогично вводятся понятия «ограниченное снизу », «миноранта » (нижняя грань), и «инфимум » (точная нижняя грань).

Полнота вещественной прямой (равносильные формулировки)

1. Свойство вложенных отрезков. Пусть заданы отрезки É É … É É … Они имеют хотя бы одну общую точку. Если длины отрезков можно выбрать сколь угодно малыми, то такая точка единственна.

Следствие: метод дихотомии для теорем существования . Пусть задан отрезок . Делим его пополам и выбираем одну из половин (так, чтобы она обладала нужным свойством). Эту половину обозначим через . Продолжаем этот процесс неограниченно. Получим систему вложенных отрезков, длины которых приближаются к 0. Значит, они имеют ровно одну общую точку. Осталось доказать, что она и будет искомой.

2. Для любого непустого ограниченного сверху множества существует супремум.

3. Для любых двух непустых множеств, одно из которых лежит левее другого, существует разделяющая их точка (существование сечений).

Окрестности:

U(x) = (a, b), a < x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;

U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;

U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).

Проколотые окрестности:

Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ {x}; Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) = Ue(x) \ {x}

Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = с чебышёвской метрикой сходилась к элементу х этого м.пр., необходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательность (x n ) равномерно сходилась к х на [a , b ].

Докажем с помощью критерия равномерной сходимости.

Известно, что фукциональная последовательность (x n ) равномерно сходится да предельной фукции х тогда и только тогда, когда

С учётом определения метрики в м.пр. С [a , b ] получаем равенство

(см. опр. 4 §7)
по метрике  в м.пр. С [a , b ]. 

Пример 2. x n (t ) = t n  t  ;  n  N . известно, что на ;/2 фукциональная последовательность x n (t ) = t n равномерно сходится да предельной фукции x (t ) = 0. Таким образом  t  ; последовательность (x n ) сходится к функции х = 0 в м.пр. С .

Теорема 4. Если а – предельная точка множества Е метрического пространства (X ,  ), то существует последовательность (x n ), члены которой принадлежат Е и не равны а , причём (x n ), сходится к а в этом метрическом пространстве.

Доказатьельство аналагично доказатьельству в пространстве R .

Замечание 1. Поскольку любая норма задает метрику,

 о (x , y ) =

то в нормированном пространстве А также можно определить предел последовательности элементов нормированного пространства.

Замечание 2. Поскольку предгильбертовое пространство является нормированным пространством с нормой
, то в предгильбертовом пространстве также можно определить предел последовательности элементов предгильбертового пространства.

§9. Полные метрические пространства

Определение 1 . Последовательность (x n ) метрического пространства (Х,  ) называется фундаментальной, если

Примером фундаментальной последовательности является любая сходящаяся последовательность точек метрического пространства.

В пространствеR любая фундаментальная последовательность – сходящаяся. Но для любого м.пр. не всякая фундаментальная последовательность метрического пространства (Х,  ) сходится в этом пространстве.

Пример 1 . В м.пр. Х = (Q ;  = х  у ) последовательность – фундаментальная, но с 1 курса известно, что но е  X (е  I ).

Определение 2 . Метрическое пространство называется полным метрическим пространством , если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится в нем.

Пример 2 . Метрическое пространство R – полное метрическое пространство, т.к. любая фундаментальная последовательность сходится к числу, из пространства R . Это следует из критерия Коши (см. 1 курс).

Пример 3 . Докажем, что пространство R m - полное метрическое пространство.

Пусть последовательность(x n = x 1 (n ) , x 2 (n ) ,…, x m (n )) (1)

любая фундаментальная последовательность пространстваR m . Покажем, что эта последовательность сходящаяся и её предел принадлежит пространству R m .

Па определению фундаментальной последовательности и определению метрики в пространствеR m

0  N( ) N  p,n >N   (x p ,x n ) 

Согласно доказатьельству теоремы 1 §8 Таким образом, была доказана фундаментальност числовых последовательностей (x 1 ( n ) ), (x 2 ( n ) ),…, (x m ( n ) ), а значит и их сходимость (по критерию Коши).

Пусть

Рассмотрим точку а = (а 1 , а 2 , …, а m ). Т.к. а 1 , а 2 , …, а m  R , то а  R m . По теореме 1 §8 получаем, что в м.пр. R m последовательность (x n ) сходится к а  R m . Это означает, что пространствоR m полное метрическое пространство. 

Пример 4 . Докажем, что метрическое пространство С [a , b ] является полным.

Пусть (x n ) – любая фундаментальная последовательность в м.пр. С [a , b ] , её члены – непрерывные на [a , b ] фукции.

Докажем, что последовательность (x n ) сходится в метрическом пространстве С [ a , b ] . Сначала покажем, что она сходится к предельной фукции х на отрезке [a , b ].

По определению фундаментальной последовательности

Это означает, что  t  [a , b ] (фиксируем t ) фундаментальной является числовая последовательность (x n (t ) ). Значит она имеет предел, который обозначим через
для каждого фиксированного t  [a , b ].

Покажем, что предельная фукция x (t ) непрерывная на [a , b ]. Для этого в неравенстве (2) §прейдём к пределу при m  . Получим

 x (t ) x n (t )   n>N  t  [a,b ].

Таким образом, мы доказали, что

0N N m,n > N  x (t ) x n (t )   t  [a,b ].

А это значит, что последовательность (x n ) равномерно сходится к фукции х на [a , b ]. Т.к. все члены последовательности (x n ) непрерывные на [a , b ] фукции, то предельная фукция также непрерывная на этом отрезке, т.е является элементом метрического пространства С [ a , b ]. По теореме 2 §8 в этом пространстве последовательность (x n ) сходится к х . Значит пространствоС [ a , b ] – полное метрическое пространство. 

Определение 3. Полное нормированное пространство называется Банохав ым пространство м .

Банохавыми пространствоми, являются пространства:

R п с нормами
,
;

l 2 с нормой векторов x = (x n ) = (x 1 , x 2 , … )

C [a , b ] с нормой функций x (t )
.

А пространство C 1 [a , b ] с нормой не является баноховым.

Определение 2 . Полное предгильбертовое пространство относительно нормы (2) §3 называется гильбертовым пространством .

Примерами гильбертовых пространств являются перечисленные пространства из примеров §4. Предгильбертовое пространство из примера 3 §4 не является полным относительно нормы (2) и поэтому не является гильбертовым.

Информатики, 4 курс, 1-2 модуль) Определение метрического пространства (м.п.). Примеры . Открытые и замкнутые множества в м.п. Сходимость... линейные отображения нормированных пространств . Примеры . Нормированное пространство линейных отображений. Теорема...