Примеры решения уравнений с 3 степенью. Как решать кубические уравнения

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Кубическое уравнение представляет собой уравнение третьего порядка и имеет следующий вид:

\ где \ Число \ именуется корнем кубического уравнения, если при его подстановке уравнение обращается в верное равенство.

Данного рода уравнения всегда имеет 3 корня. Корни могут получиться как вещественными, так и комплексными. Если исходные данные позволяют подобрать один из корней кубического уравнения \ то можно кубический многочлен разделить на \[(x - x1)\] и решать получившееся квадратное уравнение.

Допустим, дано уравнение вида:

Для решения выполним группировку:

Проанализировав уравнение, видно, что \ - корень уравнения

Найдем корни полученного квадратного трехчлена \

Получим ответ: \

Где можно решить уравнение 3 степени онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами имеет вид:

Подвергнем (1) упрощению – сделаем член с квадратом неизвестного равным нулю, для чего положим и найдем .

Таким образом, сделав в (1) подстановку , получим неполное кубическое уравнение:

Чтобы найти корни уравнения (2), положим , где u и v – два новых вспомогательных неизвестных. (2) запишем в виде:

раскрыв скобки и перегруппировав члены, получим:

Потребуем, чтобы или . Это требование всегда выполнимо, т.к. оно вместе с условием означает, что u и v являются корнями квадратного уравнения.

Тогда уравнение (2) приведется к уравнениям:

Отсюда согласно формулам Виета являются корнями квадратного уравнения:

Итак, неполное уравнение (2) решено в радикалах:

(3) – формула Кардана.

Формула Кардана состоит из суммы двух кубических радикалов. Каждый из них имеет три значения. Комбинируя значения u и v , получим девять сумм u+ v ,но среди них только три корня уравнения (2). Это будут те суммы u+ v, у которых u и v связаны соотношением:

Обозначим через , какую-нибудь пару значений , удовлетворяющих (4), а через - один из первообразных корней третьей степени из единицы. Например: .

Тогда , . Найдем . Так как и , то

Откуда

Откуда .

Таким образом, получим все значения корней неполного кубического уравнения (2):

Учитывая, что , , имеем: (5)

Пример. Определить по формуле Кардана корни уравнения:

Обозначим - выражение стоящее под знаком квадратного радикала в формуле Кардана.

Предложение Если , то уравнение (2) имеет три различных корня.

Покажем, что , , , где - первообразный корень третьей степени из 1.

Пусть , , . Возведя обе части равенства в куб получим: , т.е. квадратное уравнение имеет два равных корня: , что невозможно, т.к. дискриминант этого квадратного уравнения . Тогда из формул (5) , т.к. при . Если бы , то , т.е.

Что при невозможно.

Аналогично обнаруживается, что .

Если при и , то

Так как ,то . Следовательно .

Откуда одно из значений : . Соответствующее значение :

Обращаясь к формулам (5) получим:

Предложение: При ( и ) уравнение (2) имеет два равных корня: , и в этом случае корни (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степеней, а именно: , (6)

Пример: Решить уравнение: .

УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Пусть (7) – неполное кубическое уравнение третьей степени с действительными коэффициентами и .

Теорема: Если , то уравнение (7) имеет один действительный и два мнимых сопряженных корня;

если , то корни уравнения (7) действительны и хотя бы один из них кратный;

если , то то все корни (7) действительны и различны.

1. . Так как , то все три корня уравнения (7) должны быть различными.

Рассмотрим выражение .

Так как , то - действительное число. Следовательно, одно из значений и должно быть действительным. Пусть , тогда . На основании (5) уравнение (7) имеет только один действительный корень: , а два остальных корня будут сопряженными чисто комплексными числами:

2. . При , , уравнение имеет два равных корня. Так как (7) уравнение с действительными коэффициентами, то при , , все три корня уравнения действительны, причем два из них равны.

При , , уравнение (7) имеет три равных нулю корня: .

3. (неприводимый случай). Так как , то , где . Тогда . Найдем модуль и аргумент подкоренного выражения:

Полагая получим:

Произведение комплексного числа на сопряженное равно квадрату модуля :

Т.е. , но . Значит . Тогда

Тогда корни (7) имеют вид:

Итак, в случае уравнение (7) имеет три действительных корня.

Недостаток формулы Кардана состоит в том, что она часто представляет рациональные корни в иррациональном виде.

Пример. Очевидно - действительный корень.

(один действительный и два сопряженных мнимых корня)

По формуле Кардана: - иррациональные числа

При приближенных вычислениях , . Вследствие этого недостатка рациональные корни кубического уравнения с рациональными коэффициентами определяют не по формуле Кардана.

УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.

Пусть (1) –

Уравнение четвертой степени с комплексными коэффициентами. Наиболее ранний способ решения (1) принадлежит Феррари ученику Кардана.

Подберем вспомогательное неизвестное так, чтобы правая часть (2) превратилась в полный квадрат. Что возможно при условии, что , где , , . Если , сравнивая коэффициенты при : , , , откуда . Обратно, если , то .

Подставляя в равенство выражения А, В,С, находим, что .

(3)- кубическая резольвента.

Пусть - какой-нибудь корень уравнения (3). Подставляя в (2) в правой части получим полный квадрат:

Эти два квадратных уравнения дадут все четыре корня уравнения (1). Итак, решение уравнения четвертой степени сводится к решению одного уравнения третьей степени и двух уравнений второй степени, и так же решается в радикалах. При нахождении корней уравнения типа (1) по способу Феррари проводят последовательно все преобразования, не запоминая кубическую резольвенту.

Пример.

- (члены степени не больше двух), оставляя

Получим ответ: \

Уравнение третьей степени онлайн

Рассмотрим два примера кубических уравнений, которые калькулятор уравнений умеет без проблем решать с подробным решением:

Пример простого кубического уравнения

Первый пример будет простым:

49*x^3 — x = 0

После того, как вы нажмёте "Решить уравнение!", то вы получите ответ с подробным объяснением:

Дано уравнение:

преобразуем

Вынесем общий множитель x за скобки

получаем ур-ние

Это уравнение вида

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:

(0)^2 — 4 * (49) * (-1) = 196

Т.к. D >

Получаем окончательный ответ для -x + 49*x^3 = 0:

Второй простой пример кубического уравнения будет таким:

8 = (1/2 + 3*x)^3

Получим подробное решение:

Дано уравнение:

преобразуем:

Вынесем общий множитель за скобки

/ 2\ -9*(-1 + 2*x)*\7 + 12*x + 12*x / ——————————— = 0 8

Кубическое уравнение

правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.

Получим ур-ния

решаем получившиеся ур-ния:

Переносим свободные слагаемые (без x)

из левой части в правую, получим:

Разделим обе части ур-ния на -9/4

Получим ответ: x1 = 1/2

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:

___ \/ D — b x2 = ——— 2*a ___ -b — \/ D x3 = ———- 2*a

где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.

(12)^2 — 4 * (12) * (7) = -192

Т.к. D < 0, то уравнение

не имеет вещественных корней,

но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x3 = (-b — sqrt(D)) / (2*a)

Тогда, окончательный ответ:

1 I*\/ 3 x2 = — — + ——- 2 3 ___ 1 I*\/ 3 x3 = — — — ——- 2 3

Пример сложного кубического уравнения

Третьим примером будет более сложный — возвратное кубическое уравнение онлайн.

5*x^3 -8*x^2 — 8*x + 5 = 0

Чтобы решить такое возвратное кубическое уравнение, то введите данное уравнение в калькулятор:

Дано уравнение:

2 3 5 — 8*x — 8*x + 5*x = 0

преобразуем

3 2 5*x + 5 — 8*x + 8 — 8*x — 8 = 0

3 3 2 2 5*x — 5*(-1) — 8*x — -8*(-1) — 8*x — 8 = 0 / 3 3\ / 2 2\ 5*\x — (-1) / — 8*\x — (-1) / — 8*(x + 1) = 0 / 2 2\ 5*(x + 1)*\x — x + (-1) / + -8*(x + 1)*(x — 1) — 8*(x + 1) = 0

Вынесем общий множитель 1 + x за скобки

/ / 2 2\ \ (x + 1)*\5*\x — x + (-1) / — 8*(x — 1) — 8/ = 0

/ 2\ (1 + x)*\5 — 13*x + 5*x / = 0

получаем ур-ние

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:

___ \/ D — b x2 = ——— 2*a ___ -b — \/ D x3 = ———- 2*a

где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.

(-13)^2 — 4 * (5) * (5) = 69

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x3 = (-b — sqrt(D)) / (2*a)

Получаем окончательный ответ для 5 — 8*x — 8*x^2 + 5*x^3 = 0:

13 \/ 69 x2 = — + —— 10 10 ____ 13 \/ 69 x3 = — — —— 10 10

Тэги: уравнение

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Кубическое уравнение представляет собой уравнение третьего порядка и имеет следующий вид:

\ где \ Число \ именуется корнем кубического уравнения, если при его подстановке уравнение обращается в верное равенство.

Так же читайте нашу статью "Решить уравнение онлайн 9 класс решателем"

Данного рода уравнения всегда имеет 3 корня. Корни могут получиться как вещественными, так и комплексными. Если исходные данные позволяют подобрать один из корней кубического уравнения \ то можно кубический многочлен разделить на \ и решать получившееся квадратное уравнение.

Допустим, дано уравнение вида:

Для решения выполним группировку:

Проанализировав уравнение, видно, что \ — корень уравнения

Найдем корни полученного квадратного трехчлена \

Получим ответ: \

Где можно решить уравнение 3 степени онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе.

Как решать уравнение третьей степени

Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Как решать уравнения 3 степени

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни.

Как решать уравнения 3 степени

Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Кубическое уравнение представляет собой уравнение третьего порядка и имеет следующий вид:

\ где \ Число \ именуется корнем кубического уравнения, если при его подстановке уравнение обращается в верное равенство.

Так же читайте нашу статью "Решить уравнение онлайн 9 класс решателем"

Данного рода уравнения всегда имеет 3 корня. Корни могут получиться как вещественными, так и комплексными. Если исходные данные позволяют подобрать один из корней кубического уравнения \ то можно кубический многочлен разделить на \ и решать получившееся квадратное уравнение.

Допустим, дано уравнение вида:

Для решения выполним группировку:

Проанализировав уравнение, видно, что \ — корень уравнения

Найдем корни полученного квадратного трехчлена \

Получим ответ: \

Где можно решить уравнение 3 степени онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

— Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

— Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2

5. Уравнения третьей и четвёртой степени

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a2 — b2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1)2 = 402 + 2 · 40 · 1 + 12 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

982 = (100 – 2)2 = 1002 — 2 · 100 · 2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у)2 + (х + у)2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у)2 + (х + у)2 = х2 — 2ху + у2 + х2 + 2ху + у2 = 2х2 + 2у2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2
a2 — b2 = (a — b) (a+b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)
a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)

Алгебраическое уравнение четвёртой степени.

1. Приведение уравнения к каноническому виду.

Сделаем замену переменного по формуле:

Получим уравнение:

Раскроем скобки:

Получим уравнение:

Уравнение приведено к каноническому виду:

2.

«Решение уравнений высших степеней». 9-й класс

Решение уравнения

Способ №1.
Решение при помощи разложения на два квадратных уравнения

Рассмотрим случай, когда q не равно нулю.

Верно тождество:

Получили уравнение:

Выберем параметр z так, чтобы правая часть этого уравнения была полным квадратом относительно y . Для этого необходимо и достаточно, чтобы дискриминант из коэффициентов трехчлена относительно y , стоящего справа, обращался в нуль:z к плюс бесконечности значение многочлена в левой части уравнения также стремится к плюс бесконечности, то есть становится положительным при некотором положительном z=M , и так как непрерывная на отрезке функция принимает на интервале (0; M) любое промежуточное, в том числе и нулевое, значение, то существует положительный корень этого кубического уравнения. Таким положительным корнем является либо первый корень в программе решения кубического уравнения, где под знаком косинуса стоит аргумент F/3 , так как Cos(F/3)0 при 0F3/2*Pi , если кубическое уравнение имеет три различных действительных корня, либо единственный действительный корень этого кубического уравнения.

Если какой-то из действительных корней кубического уравнения принимает нулевое значение, то решается биквадратное уравнение

Способ №2.
Решение Декарта-Эйлера.

После приведения алгебраического уравнения четвёртой степени к каноническому виду программа находит три корня кубического уравнения

Если это кубическое уравнение имеет три действительных положительных корня, то уравнение четвёртой степени имеет четыре действительных корня.

Если это кубическое уравнение имеет три действительных корня, один положительный и два отрицательных, то уравнение четвёртой степени имеет две пары комплексно-сопряжённых корней.

Если это кубическое уравнение имеет один положительный действительный корень и два комплексно сопряжённые корня, то уравнение четвёртой степени имеет два действительных и два комплексно-сопряжённых корня. Программа на javascript «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0»Программа «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0».Код программы «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0»Вывод корней кубического уравнения.На главную страницу.

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Изложено, как решать кубические уравнения. Рассмотрен случай, когда известен один корень. Методы поиска целых и рациональных корней. Применение формул Кардано и Виета для решения любого кубического уравнения.

Здесь мы рассматриваем решение кубических уравнений вида
(1) .
Далее считаем, что - это действительные числа.

(2) ,
то разделив его на , получаем уравнение вида (1) с коэффициентами
.

Уравнение (1) имеет три корня: , и . Один из корней всегда действительный. Действительный корень мы обозначаем как . Корни и могут быть либо действительными, либо комплексно сопряженными. Действительные корни могут быть кратными. Например, если , то и - это двукратные корни (или корни кратности 2), а - простой корень.

Если известен один корень

Пусть нам известен один корень кубического уравнения (1). Обозначим известный корень как . Тогда разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение. Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня и .

Для доказательства воспользуемся тем, что кубический многочлен можно представить в виде:
.
Тогда, разделив (1) на , получаем квадратное уравнение.

Примеры деления многочленов представлены на странице
“Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком ”.
Решение квадратных уравнений рассмотрено на странице
“Корни квадратного уравнения ”.

Если один из корней - целый

Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
и его коэффициенты , , , - целые числа, то можно попытаться найти целый корень. Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем коэффициента . Метод поиска целых корней заключается в том, что мы находим все делители числа и проверяем, выполняется ли для них уравнение (2). Если уравнение (2) выполняется, то мы нашли его корень. Обозначим его как . Далее делим уравнение (2) на . Получаем квадратное уравнение. Решая его, находим еще два корня.

Примеры определения целых корней даны на странице
Примеры разложения многочленов на множители > > > .

Поиск рациональных корней

Если в уравнении (2) , , , - целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и - целые.

Для этого умножим уравнение (2) на и сделаем подстановку :
;
(3) .
Далее ищем целые корни уравнения (3) среди делителей свободного члена .

Если мы нашли целый корень уравнения (3), то, возвращаясь к переменной , получаем рациональный корень уравнения (2):
.

Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения

Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано.

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) .
Сделаем подстановку:
.
После этого уравнение приводится к неполному или приведенному виду:
(4) ,
где
(5) ; .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.